+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R_{+} \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\frac{3\cdot \sin(x^3+1)}{2x^3+2}$$ olmak üzere $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Uygun bir sınırlama:
Her $\theta$ gerçel sayısı için $$-1\le\sin \theta\le1$$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla her pozitif $x$ gerçel sayısı için $$-1\le\sin (x^3+1)\le1$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Bu sınırlama ile fonksiyonu sıkıştırma:
$x$ pozitif bir gerçel sayı olduğunda eşitsizliği pozitif $3\cdot(2x^3+2)^{-1}$ ile çarparsak $$-\frac{3}{2x^3+2}\le \frac{3\cdot \sin(x^3+1)}{2x^3+2}\le \frac{3}{2x^3+2}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Uç limitler:
Eşitsizliğin sol ucundaki fonksiyonun limiti ile ilgilenelim. Payı ve paydayı $x^3$ ile bölersek $x^{-3}$ limiti sıfır olduğundan $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-3}{2x^3+2}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-3x^{-3}}{2+2x^{-3}}=\frac{-3\cdot 0}{2+2\cdot 0}=0$$ eşitliği sağlanır. Benzer bir şekilde eşitsizliğin sağ tarafında limit değerinin $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{3}{2x^3+2}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{3x^{-3}}{2+2x^{-3}}=\frac{3\cdot 0}{2+2\cdot 0}=0$$ olduğunu bulabiliriz.

Sıkıştırma savını kullanma:
Elde ettiğimiz son eşitsizliteki uç fonksiyonların limiti sıfır olduğundan, sıkıştırma savı ile, $$\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\lim\limits_{x\to \infty}  \frac{3\cdot \sin(x^3+1)}{2x^3+2}=0$$ eşitliğini elde ederiz.

...