Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{\ln n}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek adına herhangi bir pozitif $\epsilon$ için $n^\epsilon$ ifadesinin $\ln n$ ifadesine baskın olduğunu kullanabiliriz. Bunu $n$ ile yaparsak istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Limit karşılaştırma testi:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{\ln n}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{\ln n} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x}{\ln x} \qquad{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &\stackrel{l'h}{=} \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x^{-1}} \\[15pt]&= \ \lim\limits_{x \to \infty}x\\[15pt] &= \ \infty\end{align*} eşitliği sağlanır. 

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1 \le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{\ln n}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.

...