$A\subseteq \mathbb R$ gerçel sayıların boş olmayan bir açık aralığı, $a\in A$ bir gerçel sayı ve $f: A\to \mathbb R$ bir fonksiyon olsun.
Sav 1 (Doğrusal yaklaşım ile elde edeceğimiz hata payı):
$f^{\prime\prime}$ fonksiyonu $a$ elemanını içeren bir açık $I$ aralığında sürekli ve $x$ de $I$ aralığında bir eleman ise $$f(x)=f(a)+(x-a)\cdot f^\prime(a)+\int_a^x(x-t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\ dt$$ eşitliği sağlanır.
Sav 2 (Polinomsal yaklaşım ile elde edeceğimiz hata payı):
$n\ge1$ bir tam sayı olmak üzere $f^{(n+1)}$ fonksiyonu $a$ elemanını içeren bir açık $I$ aralığında sürekli ve $x$ de $I$ aralığında bir eleman ise $$\frac1{n!}\int_a^x(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\ dt=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ eşitliği sağlanır.
Sav 3 (İntegralsiz hata payı):
$n\ge1$ bir tam sayı olmak üzere $f^{(n+1)}$ fonksiyonu $a$ elemanını içeren bir açık $I$ aralığında sürekli ve $x$ de $I$ aralığında bir eleman ise $a$ ile $x$ arasındaki bir $c$ sayısı için $$\frac1{n!}\int_a^x(x-t)^n\cdot f^{(n+1)}(t)\ dt=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ eşitliği sağlanır.
Not: Bir Taylor toplamının ne zaman fonksiyon değerine eşit olduğunun ispatı buradan kolaylıkla çıkıyor. Yakın zamanda bu başlık altına sav ve ispat olarak ekleyeceğim.