Payı ve paydayı $x$ ile çarpalım ve bu $x$'leri $\sin$'lere paylaştıralım. $0$ noktasında limiti alınabilen $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğu bilgisini kullanabilecek şekilde ifadeyi düzenleyelim ve limit değerini bulalım. \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 3x} \ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 4x}{\sin 3x} \cdot \frac xx\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 4x}{x} \cdot \frac x{\sin 3x}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[\frac{4}{3}\cdot \dfrac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x}\right]\\[12pt]&=\ \frac43\cdot 1\cdot 1^{-1}\\[12pt]&=\ \frac43\end{align*}eşitliğini buluruz.
--------------------
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $u_1(x)=3x$ ve $u_2(x)=4x$ kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık.