$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ eşit olduğu bilgisini kullanabilmek için payı ve paydayı $x$ ile bölelim ve $\sin$ içi ile paydalarını eşitleyerek limit değerini bulalım. Bu yöntem ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{5x+\sin 3x}{2x+\sin 4x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{5+\frac{\sin 3x}{x}}{2+\frac{\sin 4x}{x}}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{5+3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}}{2+4\cdot\frac{\sin 4x}{4x}}\\[12pt]\ &= \ \frac{5+3\cdot 1}{2+4\cdot 1}\\[12pt]\ &= \ \frac43\end{align*}eşitliğini buluruz.
__________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $u_1(x)=3x$ ve $u_2(x)=4x$ kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonları için kullandık.