Payı $x\cdot(3x^2+4)$ olarak çarpanlarına ayıralım. $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ değerine eşit olduğu bilgisini kullanbilecek şekilde ifadeyi düzenleyeyerek limit değerini bulalım. Bu yöntemle\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{3x^{3}+4x}{\sin 3x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x\cdot(3x^{2}+4)}{\sin 3x}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{3x^2+4}{3}\right]\\[12pt]\ &= \ 1^{-1}\cdot \frac{3\cdot 0^2+4}{3} \\[12pt]\ &= \ \frac43\end{align*}eşitliğini buluruz.
____________________________
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $u(x)=3x$ kurallı $u_1: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.