0 oy
Limit kategorisinde tarafından

Limitin $\epsilon-\delta$ tanımını kullarak aşağıdaki önermeyi ispatlayınız.

$b\ne 0$ ve $c$ gerçel sayılar olmak üzere $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=bx+c$ olarak verilsin. $a$ bir gerçel sayı olmak üzere \[\lim_{x \to a}f(x)=b\cdot a+c\] eşitliği sağlanır.

Not: Bu içerikte birinci dereceden polinomların limitleri ile ilgilenmek istiyoruz. Bu nedenle $b$ değerinin sıfır olmaması gerektiğini kabul ettik. $b$ değeri sıfır olduğunda sabit fonksiyon elde ederiz. Bu durumun ispatını sabit fonksiyonların limiti başlığı altında vermiştik.

1 cevap

0 oy
tarafından

Kurmamız gereken cümlenin kalıbı:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda $$|f(x)-(b\cdot a+c)|= \cdots <\epsilon$$ sağlanır.

Yapmamız gereken:
Alt boşluğu doldurarak eşitsizliği delta seçimine uygun bir forma getirmektir ve bu uygun form ile uygun deltayı seçmektir.

Alt boşluğu doldurma:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \cdots >0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda \begin{align*}|f(x)-(b\cdot a+c)|&= |(b\cdot x+c)-(b\cdot a+c)|\\[5pt]&= |b\cdot x - b\cdot a|\\[5pt]&=|b|\cdot |x-a|\\[5pt]&<|b|\cdot \delta\end{align*} sağlanır.

Uygun deltayı seçme:
İsteğimiz $|f(x)-(b\cdot a+c)|<\epsilon$ olduğunu göstermektir. Elimizde $|f(x)-(b\cdot a+c)|<|b|\cdot \delta$ eşitsizliği var. Bu eşitsizliği kullanabilmek için \[|b|\cdot \delta\le \epsilon\] şartını sağlayan herhangi bir pozitif delta seçebiliriz.

$\delta=\epsilon/|b|$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \epsilon/|b| >0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda \begin{align*}|f(x)-(b\cdot a+c)|&= |(b\cdot x+c)-(b\cdot a+c)|\\[5pt]&= |b\cdot x - b\cdot a|\\[5pt]&=|b|\cdot |x-a|\\[5pt]&<|b|\cdot \delta\\[5pt]&=\epsilon\end{align*} sağlanır.

$\delta=\epsilon/|\pi b|$ seçimine göre ispat:
Verilen $\epsilon>0$ için $\delta= \epsilon/|\pi b| >0$ seçersek $0<|x-a|<\delta$ olduğunda \begin{align*}|f(x)-(b\cdot a+c)|&= |(b\cdot x+c)-(b\cdot a+c)|\\[5pt]&= |b\cdot x - b\cdot a|\\[5pt]&=|b|\cdot |x-a|\\[5pt]&<|b|\cdot \delta\\[5pt]&=\epsilon/\pi\\[5pt]&<\epsilon\end{align*} sağlanır.

...