Fikir başlangıcı:
Bize verilen $a+a^{-1}=4$ eşitliğidir. Ayrıca ($a$ sıfır olmadığında) $a\cdot a^{-1}=1$ eşitliği sağlanır.
Toplamı ve çarpımı verilen iki sayı için bu sayıların küpleri toplamını nasıl buluruz?
Burada toplamın küp açılımını kullacağız. Bu formu işimize yarayacak formda düzenleyerek sonuca ulaşabiliriz. Her $x$ ve $y$ gerçel sayısı için $$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$$ eşitliği sağlanır.
Cevap:
Kareleri elde edebilmek için $a+a^{-1}$ ifadesinin küpünü alalım. Bu durumda \begin{align*}64=4^3&=(a+a^{-1})^3\\[12pt]&=a^3+a^{-3}+3\cdot a\cdot a^{-1}(a+a^{-1})\\[12pt]&=a^3+a^{-3}+3\cdot 1\cdot 4 \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
$a^3+a^{-3}+12=64$ eşitliği bize $$a^3+a^{-3}=52$$ olduğunu verir.
Genel sonuç:
$a+a^{-1}=u$ eşitliği sağlanıyorsa \begin{align*}u^3=(a+a^{-1})^3=a^3+a^{-3}+3\cdot a\cdot a^{-1}(a+a^{-1})=a^3+a^{-3}+3\cdot 1\cdot u \end{align*} eşitliği ile $$a^3+a^{-3}=u^2-3u$$ olduğunu elde ederiz.