+1 oy
Orta Öğretim kategorisinde tarafından
$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere $$\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{{x}{y}}$$ eşitliği sağlanıyorsa $y$ sayısının $x$ cinsinden bir ifadesini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Köklerden kurtulma:
Eşitlikteki paydadan ve köklerden kurtulmak için eşitliği $\sqrt{{x}{y}}$ ile çarpalım. Bu durumda eşitliğimiz, $x$ ve $y$ değerlerinin pozitif olduğu bilgisi ile, \begin{align*}\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{{x}{y}} \qquad&\iff\qquad\sqrt{{x}{y}}\cdot\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{{x}{y}}\cdot\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{{x}{y}}\cdot\sqrt{{x}{y}}\\[22pt]&\iff\qquad\sqrt{xy\cdot\frac{x}{y}}+\sqrt{xy\cdot\frac{y}{x}}=\sqrt{xy\cdot{x}{y}}\\[22pt]&\iff\qquad\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=\sqrt{(xy)^2}\\[22pt]&\iff\qquad x+y=xy\end{align*} eşitliğine dönüşür.

y sayısını x cinsinden yazma:
İfadeyi düzenlersek \begin{align*}x+y=xy \qquad&\iff\qquad x=xy-y\\[15pt]&\iff\qquad x=y(x-1)\\[15pt]&\iff\qquad y=\frac x{x-1}\end{align*} olarak $y$ sayısını $x$ cinsinden ifade etmiş oluruz. 

...