İlk kısımda toplam alanı trigonometrik fonksiyonlar ile formülize edeceğiz. İkinci kısımda bulduğumuz alan fonkisyonun en büyük değerini bulmaya çalışacağız.
Birinci kısım - Toplam alanı bulma:
Üçgenin alanı:
Çatı açısına $\alpha$ diyelim. Bu durumda $0^\circ< \alpha< 180^\circ$ olmalıdır ve çatıyı oluşturan üçgenin alanı $$\frac{4\cdot 3}{2}\sin\alpha=6\sin \alpha$$ olur.
Karenin alanı:
Karenin bir kenarına $c$ dersek alanı $c^2$ olur. Kosinüs savı gereği $$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos\alpha=25-24\cos\alpha$$ olur.
Toplam alan:
Alanların toplamı ise $$25-24\cos\alpha+6\sin \alpha$$ olur.
Toplam alanı en büyük kılma:
Cebirsel bir çıkarım:
Alanımızı $$25+6(\sin\alpha-4\cos\alpha)$$ olarak yazarsak bulmamız gereken, $\alpha$ bir üçgenin iç açısı olabilecek şekilde, $\sin\alpha-4\cos\alpha$ ifadesinin en büyük değeri olur.
Popüler bir bilgi ile sonuca varma:
Bu ifadeninin alabileceği en büyük değer (popüler bir bilgidir ve açıklaması verilecektir) $$\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$$ olur.
Bu eşitliği sağlayan bir $0^\circ< \alpha< 180^\circ$ şartında $\alpha$ açışı da vardır. Dolayısıyla Hande bu şekilde oluşturabileceği en büyük alanlı evi en az $$25+6\sqrt{17}$$ santimetre kare karton kullanarak oluşturabilir.
Popüler bilginin bu soru bazında bir açıklaması:
$\theta$ açısı $$\cos\theta=-\frac{4}{\sqrt{17}} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin\theta=\frac1{\sqrt{17}}$$ olacak şekide, bir üçgen iç açısı olarak, alalım. En büyük değerini bulmak istediğimiz ifadeyi düzenlersek \begin{align*}\sin\alpha-4\cos\alpha&=\sqrt{17}\left(\frac1{\sqrt{17}}\sin\alpha+\frac{-4}{\sqrt{17}}\cos\alpha\right)\\[15pt]&=\sqrt{17}\left(\sin\theta\sin\alpha+\cos\theta\cos\alpha\right)\\[15pt]&=\sqrt{17}\cos(\theta-\alpha)\end{align*} eşitliğini elde ederiz. Bu ifade en büyük değerini $\cos(\theta-\alpha)=1$ olduğunda yani $\alpha=\theta$ olduğunda alır.