Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Hikayeli orta öğretim soruları kategorisinde tarafından

Hande iki kenarı $3$ cm ve $4$ cm olan bir üçgen karton ve bu üçgenin diğer kenarının uzunluğu ile bir kenar uzunluğu aynı olan kare karton ile aşağıdaki gibi bir ev yapmak istiyor. Hande'nin bu şekilde oluşturabileceği en büyük alanlı evi en çok kaç santimetre kare karton kullanarak oluşturabilir?

1 cevap

0 oy
tarafından

İlk kısımda toplam alanı trigonometrik fonksiyonlar ile formülize edeceğiz. İkinci kısımda bulduğumuz alan fonkisyonun en büyük değerini bulmaya çalışacağız.

Birinci kısım - Toplam alanı bulma:

Üçgenin alanı:
Çatı açısına $\alpha$ diyelim. Bu durumda $0^\circ< \alpha< 180^\circ$ olmalıdır ve çatıyı oluşturan üçgenin alanı $$\frac{4\cdot 3}{2}\sin\alpha=6\sin \alpha$$ olur.

Karenin alanı:
Karenin bir kenarına $c$ dersek alanı $c^2$ olur. Kosinüs savı gereği $$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos\alpha=25-24\cos\alpha$$ olur.

Toplam alan:
Alanların toplamı ise $$25-24\cos\alpha+6\sin \alpha$$ olur.

Toplam alanı en büyük kılma:

Cebirsel bir çıkarım:
Alanımızı $$25+6(\sin\alpha-4\cos\alpha)$$ olarak yazarsak bulmamız gereken, $\alpha$ bir üçgenin iç açısı olabilecek şekilde, $\sin\alpha-4\cos\alpha$ ifadesinin en büyük değeri olur. 

Popüler bir bilgi ile sonuca varma:
Bu ifadeninin alabileceği en büyük değer (popüler bir bilgidir ve açıklaması verilecektir) $$\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$$ olur.

Bu eşitliği sağlayan bir $0^\circ< \alpha< 180^\circ$ şartında $\alpha$ açışı da vardır. Dolayısıyla Hande bu şekilde oluşturabileceği en büyük alanlı evi en az $$25+6\sqrt{17}$$ santimetre kare karton kullanarak oluşturabilir.

Popüler bilginin bu soru bazında bir açıklaması:
$\theta$ açısı $$\cos\theta=-\frac{4}{\sqrt{17}} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin\theta=\frac1{\sqrt{17}}$$ olacak şekide, bir üçgen iç açısı olarak, alalım. En büyük değerini bulmak istediğimiz ifadeyi düzenlersek \begin{align*}\sin\alpha-4\cos\alpha&=\sqrt{17}\left(\frac1{\sqrt{17}}\sin\alpha+\frac{-4}{\sqrt{17}}\cos\alpha\right)\\[15pt]&=\sqrt{17}\left(\sin\theta\sin\alpha+\cos\theta\cos\alpha\right)\\[15pt]&=\sqrt{17}\cos(\theta-\alpha)\end{align*} eşitliğini elde ederiz. Bu ifade en büyük değerini $\cos(\theta-\alpha)=1$ olduğunda yani $\alpha=\theta$ olduğunda alır. 

...