Aralıkları güzel yazabilmek için $b>a$ kabulü ile ispata başlayalım. $\sin$ fonksiyonu, özel olarak, $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde sürekli ve $(a,b)$ açık aralığı üzerinde türevlenebilir. Ortalama değer savı gereği bir $c\in (a,b)$ değeri için $$\frac{\sin b - \sin a}{b-a}=\sin^\prime c=\cos c$$ eşitliği sağlanır.
Her $\theta\in \mathbb R$ için $|\cos \theta|\le 1$ eşitsizliği sağlandığından $$\left|\frac{\sin b - \sin a}{b-a}\right|=|\cos c|\le 1$$ eşitsizliği sağlanır. Eşitsizliği pozitif $|b-a|$ ile çarparsak $$|\sin b - \sin a| \le |b-a|$$ eşitsizliğini elde ederiz.
$b<a$ olduğunda yapmamız gereken $a$ ile $b$ değerlerinin yerini mutlak değerin güzelliği ile değiştirmek olacaktır. $a>b$ olduğundan ispatın ilk kısmı gereği $$|\sin b - \sin a|=|\sin a - \sin b| \le |a-b|=|b-a|$$ eşitsizliği sağlanır.
Geriye bir durum daha kaldı, $a=b$ durumu. Bu durum altında eşitsizlik eşitlik olarak sağlanır.