$(\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}$ türevi

Question

$f:\mathbb R \to \mathbb R_+$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=(\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Answer 1

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left( (\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}\right)=\sqrt{3\cos x+4}\cdot \ln(\sin x+2)$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Gerçel sayılar üzerinde $\sqrt{3\cos x+4}\cdot \ln(\sin x+2)$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ve zincir kuralı ile, $$\left(\frac 12 (3\cos x+4)^{-\frac12}\cdot(-3\sin x)\right)\cdot \ln(\sin x+2)+\sqrt{3\cos x+4}\cdot \frac{\cos x}{\sin x+2}$$ olur.

exp fonksiyonun ile birimleme:
$x\in \mathbb R$ olmak üzere $$f(x)=e^{\ln f(x)}$$ eşitliği sağlanır.

Zincir kuralı ile sonuca varma:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ türevlenebildiğinden gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (\exp \ln f)^\prime (x)\\[10pt]&= \ \exp^\prime(\ln f(x))\cdot (\ln f)^\prime(x) \\[10pt] &= \ \exp\left(\ln f(x)\right)\cdot \left(-\frac{3\sin x\cdot \ln(\sin x+2)}{2\sqrt{3\cos x+4}}+ \frac{\sqrt{3\cos x+4}\cdot\cos x}{\sin x+2}\right)\\[10pt]&= \ (\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}\cdot\left(-\frac{3\sin x\cdot \ln(\sin x+2)}{2\sqrt{3\cos x+4}}+ \frac{\sqrt{3\cos x+4}\cdot\cos x}{\sin x+2}\right)\end{align*} eşitliği sağlanır.

Answer 2

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in\mathbb R$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left( (\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}\right)=\sqrt{3\cos x+4}\cdot \ln(\sin x+2)$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Gerçel sayılar üzerinde $\sqrt{3\cos x+4}\cdot \ln(\sin x+2)$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ile, \begin{align}\frac d{dx}&\left(\sqrt{3\cos x+4}\cdot \ln(\sin x+2)\right)\nonumber\\[15pt]   &=\ \left(\frac 12 (3\cos x+4)^{-\frac12}\cdot(-3\sin x)\right)\cdot \ln(\sin x+2)+\sqrt{3\cos x+4}\cdot \frac{\cos x}{\sin x+2}\nonumber\\[15pt]  &= \ -\frac{3\sin x\cdot \ln(\sin x+2)}{2\sqrt{3\cos x+4}}+ \frac{\sqrt{3\cos x+4}\cdot\cos x}{\sin x+2}\label{eq:turev1}\end{align} eşitliğini sağlar.

Logaritmik türevin varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.

Logaritmik türev ile fonksiyon ve türevinin ilişkisi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln$ ve $f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden, zincir kuralı ile, pozitif gerçel sayılar üzerinde  \begin{align}(\ln f)^\prime(x) \ &= \ \ln^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac1{f(x)}\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\nonumber\\[17pt] &= \ \frac{f^\prime(x)}{(\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}}\label{eq:turev2}\end{align}eşitliği sağlanır.

Bilgileri birleştirme ve sonuca varma:
Eşitlik \eqref{eq:turev1} ve \eqref{eq:turev2} ile $$ (\ln f)^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{ (\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}} \text{ yani } \ \ \  $$$$ f^\prime(x) \ = \  (\sin x+2)^{\sqrt{3\cos x+4}}\cdot\left(-\frac{3\sin x\cdot \ln(\sin x+2)}{2\sqrt{3\cos x+4}}+ \frac{\sqrt{3\cos x+4}\cdot\cos x}{\sin x+2}\right)$$ eşitliği sağlanır.