$(\sin x)^{\cos x}$ fonksiyonunun türevi

Question

$f:(0,\pi)\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)= (\sin x)^{\cos x}$$ olarak verilsin. Türevi olan $f^\prime$ fonksiyonunun kuralını bulunuz.

Answer 1

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in (0,\pi)$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left( (\sin x)^{\cos x}\right)=\cos  x\cdot \ln(\sin x)$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\cos  x\cdot \ln(\sin x)$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ile, $$-\sin x\cdot \ln (\sin x)+\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=-\sin x\cdot \ln (\cos x)+\cos x\cdot \cot x$$ olur.

exp fonksiyonun ile birimleme:
$x\in (0,\pi)$ olmak üzere $$f(x)=e^{\ln f(x)}$$ eşitliği sağlanır.

Zincir kuralı ile sonuca varma:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (\exp \ln f)^\prime (x) \\[10pt]&= \ \exp^\prime(\ln f(x))\cdot (\ln f)^\prime(x) \\[10pt]&= \ \exp(\ln (\sin x)^{\cos x})\cdot \left(-\sin x\cdot \ln (\cos x)+\cos x\cdot \cot x\right)\\[10pt]&= \ (\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot \ln (\cos x)+\cos x\cdot \cot x\right)\end{align*} eşitliği sağlanır.

Answer 2

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_+$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left( (\sin x)^{\cos x}\right)=\cos  x\cdot \ln(\sin x)$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\cos  x\cdot \ln(\sin x)$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ile, \begin{align}\frac d{dx}\left(\cos  x\cdot \ln(\sin x)\right)\ &=\ -\sin x\cdot \ln (\sin x)+\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}\nonumber\\[15pt]  &= \ -\sin x\cdot \ln (\cos x)+\cos x\cdot \cot x\label{eq:turev1}\end{align} eşitliğini sağlar.

Logaritmik türevin varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.

Logaritmik türev ile fonksiyon ve türevinin ilişkisi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln$ ve $f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden, zincir kuralı ile, pozitif gerçel sayılar üzerinde  \begin{equation}\label{eq:turev2}\hspace{-10mm}(\ln f)^\prime(x) \ = \ \ln^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac1{f(x)}\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\ = \ \frac{f^\prime(x)}{(\sin x)^{\cos x}}\end{equation}eşitliği sağlanır.

Bilgileri birleştirme ve sonuca varma:
Eşitlik \eqref{eq:turev1} ve \eqref{eq:turev2} ile $$-\sin x\cdot \ln (\cos x)+\cos x\cdot \cot x\ = \ (\ln f)^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{(\sin x)^{\cos x}}  $$$$\text{ yani } \ \ \  f^\prime(x) \ = \ (\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\cdot \ln (\cos x)+\cos x\cdot \cot x\right)$$ eşitliği sağlanır.