Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_+$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln(x^{\sin x})=\sin x \cdot \ln x$$ eşitliği sağlanır.
Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\sin x\cdot \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ile, \begin{equation}\label{eq:turev1}\frac d{dx}\left(\sin x\cdot \ln x\right)\ =\ \cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac1x\end{equation} eşitliğini sağlar.
Logaritmik türevin varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.
Logaritmik türev ile fonksiyon ve türevinin ilişkisi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln$ ve $f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden, zincir kuralı ile, pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{equation}\label{eq:turev2}\hspace{-10mm}(\ln f)^\prime(x) \ = \ \ln^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac1{f(x)}\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\ = \ \frac{f^\prime(x)}{x^{\sin x}}\end{equation}eşitliği sağlanır.
Bilgileri birleştirme ve sonuca varma:
Eşitlik \eqref{eq:turev1} ve \eqref{eq:turev2} ile $$\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac1x\ = \ (\ln f)^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{x^{\sin x}} $$$$\text{ yani } \ \ \ f^\prime(x) \ = \ x^{\sin x}\cdot\left(\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac1x\right)$$ eşitliği sağlanır.