0 oy
Türev kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R_+\to \mathbb R_+$ olmak üzere kuralı $$f(x)=x^{\frac1x}$$ olarak verilsin. Türevi olan $f^\prime$ fonksiyonunun kuralını bulunuz.

2 Cevaplar

0 oy
tarafından

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_+$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left(x^{\frac1x}\right)=\frac1x\cdot \ln x$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\frac1x\cdot \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ile, $$-\frac1{x^2}\cdot \ln x+\frac1x\cdot \frac1x=\frac{1-\ln x}{x^2}$$ olur.

exp fonksiyonun ile birimleme:
$x\in \mathbb R_+$ olmak üzere $$f(x)=e^{\ln f(x)}$$ eşitliği sağlanır.

Zincir kuralı ile sonuca varma:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (\exp \ln f)^\prime (x) \\[10pt]&= \ \exp^\prime(\ln f(x))\cdot (\ln f)^\prime(x) \\[10pt]&= \ \exp(\ln x^{\frac1x})\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}\\[10pt]&= \ x^{\frac1x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}\end{align*} eşitliği sağlanır.

0 oy
tarafından

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_+$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln(x^{\frac1x})=\frac1x \cdot \ln x$$ eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\frac1x\cdot \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin çarpım kuralı ile, \begin{equation}\label{eq:turev1}\frac d{dx}\left(\frac1x\cdot \ln x\right)\ =\ -\frac1{x^2}\cdot \ln x+\frac1x\cdot \frac1x\ =\ \frac{1-\ln x}{x^2}\end{equation} eşitliğini sağlar.

Logaritmik türevin varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.

Logaritmik türev ile fonksiyon ve türevinin ilişkisi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln$ ve $f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden, zincir kuralı ile, pozitif gerçel sayılar üzerinde  \begin{equation}\label{eq:turev2}(\ln f)^\prime(x) \ = \ \ln^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac1{f(x)}\cdot f^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\ = \ \frac{f^\prime(x)}{x^{\frac1x}}\end{equation}eşitliği sağlanır.

Bilgileri birleştirme ve sonuca varma:
Eşitlik \eqref{eq:turev1} ve \eqref{eq:turev2} ile $$\frac{1-\ln x}{x^2}\ = \ (\ln f)^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{x^{\frac1x}} \ \ \ \text{ yani } \ \ \  f^\prime(x) \ = \ x^{\frac1x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}$$ eşitliği sağlanır.

...