0 oy
Türev kategorisinde tarafından
$f: \mathbb R_{>1}\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)=x^{x^x}$$ olarak verilsin. Türevi olan $f^\prime$ fonksiyonunun kuralını bulunuz.

2 Cevaplar

0 oy
tarafından

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left(x^{x^x}\right)=\ln x\cdot x^x$$ eşitliği sağlanır. Üsellik devam ettiği için bir kere daha logaritma alırsak \begin{align*}\ln \ln f(x)\ &= \ \ln\left(\ln x\cdot x^x\right)\\[10pt] &= \ \ln \ln x+\ln (x^x)\\[10pt] &= \ \ln\ln  x+ x\cdot \ln x\end{align*} eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $ \ln\ln  x+ x\cdot \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin toplam-çarpım ve zincir kuralı ile, $$\left(\ln^\prime x\cdot \ln^\prime(\ln x)\right)+ \left(1 \cdot \ln x+ x\cdot \ln^\prime x\right)=\frac1{x\cdot\ln x}+\ln x+1 $$ olur.

exp fonksiyonun ile birimleme:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $$f(x)=\exp \exp \ln \ln f(x)$$ eşitliği sağlanır.

Zincir kuralı ile sonuca varma:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif $\mathbb R_{>1}$ üzerinde $\ln \ln f$ türevlenebildiğinden $\mathbb R_{>1}$ üzerinde \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ (\exp \exp \ln \ln f)^\prime (x) \\[10pt]&= \ \exp^\prime(\exp \ln \ln  f(x))\cdot\exp^\prime(\ln \ln  f(x))\cdot (\ln \ln f)^\prime(x) \\[10pt] &=\  f(x)\cdot \ln  f(x)\cdot (\ln \ln f)^\prime(x) \\[10pt]&= \ x^{x^x}\cdot \ln x\cdot x^x \cdot\left(\frac1{x\cdot\ln x}+\ln x+1\right)\end{align*} eşitliği sağlanır.

0 oy
tarafından

Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left(x^{x^x}\right)=\ln x\cdot x^x$$ eşitliği sağlanır. Üsellik devam ettiği için bir kere daha logaritma alırsak \begin{align*}\ln \ln f(x)\ &= \ \ln\left(\ln x\cdot x^x\right)\\[10pt] &= \ \ln \ln x+\ln (x^x)\\[10pt] &= \ \ln\ln  x+ x\cdot \ln x\end{align*} eşitliği sağlanır.

Sağ taraftaki fonksiyonun türevi:
$x\in \mathbb R_{>1}$ olmak üzere $\ln\ln  x+ x\cdot \ln x$ fonksiyonunun türevi, türevin toplam-çarpım kuralı ve zincir kuralı ile, \begin{align}\frac d{dx}\left(\ln\ln  x+ x\cdot \ln x\right)\ &=\ \left(\ln^\prime x\cdot \ln^\prime(\ln x)\right)+ \left(1 \cdot \ln x+ x\cdot \ln^\prime x\right) \nonumber\\[15pt] &=\ \frac1{x\cdot\ln x}+\ln x+1\label{eq:turev1}\end{align} eşitliğini sağlar.

Logaritmik türevin varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve $\mathbb R_{>1}$ üzerinde $\ln \ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden $\mathbb R_{>1}$ üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp\exp (\ln \ln  f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.

Logaritmik türev ile fonksiyon ve türevinin ilişkisi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln$ ve $\mathbb R_{>1}$ üzerinde $f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden, zincir kuralı ile, $\mathbb R_{>1}$ üzerinde\begin{align}(\ln \ln f)^\prime(x) \ &= \ \ln^\prime(\ln f(x))\cdot \ln^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)\nonumber \\[15pt] &= \ \frac1{\ln f(x)}\cdot\frac1{f(x)}\cdot f^\prime(x)\nonumber \\[15pt] &= \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)\cdot \ln f(x)}\nonumber\\[15pt] &= \ \frac{f^\prime(x)}{x^{x^x}\cdot \ln x\cdot x^x}\label{eq:turev2}\end{align}eşitliği sağlanır.

Bilgileri birleştirme ve sonuca varma:
Eşitlik \eqref{eq:turev1} ve \eqref{eq:turev2} ile $$\frac1{x\cdot\ln x}+\ln x+1\ = \ (\ln \ln f)^\prime(x) \ = \ \frac{f^\prime(x)}{x^{x^x}\cdot \ln x\cdot x^x}  $$$$\text{ yani } \ \ \  f^\prime(x) \ = \ x^{x^x}\cdot \ln x\cdot x^x\cdot\left(\frac1{x\cdot\ln x}+\ln x+1\right)$$ eşitliği sağlanır.

...