$\sqrt{\dfrac{x^3+1}{x^4+1}}$ türevi

Question

$f:\mathbb R_{>-1}\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)=\sqrt{\frac{x^3+1}{x^4+1}}$$ olarak verilsin. Türevi olan $f^\prime$ fonksiyonunun kuralını bulunuz.

Answer 1

Bu başlık altında logaritmik türev ile bir cevap vereceğiz.

Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\sqrt{\frac{x^3+1}{x^4+1}}\right)\\[17pt] & = \ \ln \left[\left(\frac{x^3+1}{x^4+1}\right)^\frac12\right]\\[17pt] & = \ \frac12\cdot \ln \left(\frac{x^3+1}{x^4+1}\right)\\[17pt] &= \ \frac12\cdot \left(\ln(x^3+1) -\ln(x^4+1)\right)\end{align*} olur.

Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}= \frac12\cdot \left(\frac{3x^2}{x^3+1} -\frac{4x^3}{x^4+1}\right)$$ eşitliğini elde ederiz.

Not: Foksiyonun logaritması türevlenebilirse kendisi de türevlenebilir. Bu bilgiyi kullandık.

f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \sqrt{\frac{x^3+1}{x^4+1}}\cdot\frac12\cdot \left(\frac{3x^2}{x^3+1} -\frac{4x^3}{x^4+1}\right)\end{align*} eşitliği sağlanır.