+1 oy
Türev kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=\sin^4 x+\cos^4 x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun türevini kuralı bir $a$ gerçel sayısı için  $$f(x)=\sin ax$$ ise $a$ değerini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fonksiyonu trigonometrik eşitliklerle kolaylama:
$f$ fonksiyonunun kuralını  \begin{align*}f(x)\ = \ \sin^4 x+\cos^4 x\ &=\ \left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\sin^x\cos^2x\\[17pt] &=\ 1-\frac12(2\sin x\cos x)^2\\[17pt] &=\ 1-\frac12\sin^22x\end{align*} olarak yazabiliriz. 

Zincir kuralına uygun yazma:
$g:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralını $g(x)=\sin^22x$ olacak şekilde alalım ve zincir kuralına uygulayabilmek için $$g(x)=\sin^22x=\underbrace{\left(x^{2}\right)}_{f_3(x)}\circ\underbrace{\left(\sin x\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(2x\right)}_{f_1(x)}$$ olarak yazabiliriz. 

Zincir kuralını g fonksiyonu için uygulama:
Kuralı $x^2$, $\sin x$ ve $2x$ olan fonksiyonlar her noktada türevlenebilir ve türevleri sırası ile $2x$, $\cos x$ ve $2$ fonksiyonlarıdır. Zincir kuralı gereği bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonunun türevi kuralı \begin{align*}g^\prime(x)\ &= \ \underbrace{2}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\cos\left( 2x\right)}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{2\sin2x}_{f_3^\prime(f_2(f_1(x)))}\\[15pt] &=\ 4\sin 2x\cos 2x\\[15pt] &=\ 2\sin 4x \end{align*} eşitliğini sağlar.

f fonksiyonunun türevini bulma:
Bu bilgi ile kuralı  $1-\frac12\sin^22x$ olan $f$ fonksiyonunun türev kuralı  ise\begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ 0-\frac12\cdot(2\sin4x)\\[15pt] &=\ -\sin 4x\\[15pt] &=\ \sin( -4x) \end{align*} eşitliğini sağlar.

a değerini bulma:
Bu eşitlik gereği $a=-4$ olmalıdır.

Not:
Başka bir değer için sağlanmayacağını görmek için farklı $a$ ve $b$ değerleri için $\sin ax-\sin bx$ fonksiyonunun sıfır fonksiyon olmadığını göstermeniz yeterlidir. 

...