$\cos(\sec(\arctan x))$ fonksiyonunun türevi

Question

$f: \mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\cos(\sec(\arctan x))$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

Answer 1

Zincir kuralına uygun yazma:
$f$ fonksiyonunun kuralını  $$f(x)=\cos(\sec(\arctan x))=\underbrace{\left(\cos x\right)}_{f_3(x)}\circ\underbrace{\left(\sec x\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(\arctan x\right)}_{f_1(x)}$$ olarak yazabiliriz. 

Zincir kuralını uygulama:
Kuralı $\arctan x$, $\sec x$ ve $\cos x$ olan fonksiyonlar tanımlı olduğu noktalar üzerinde türevlenebilir fonksiyonlardır ve türevleri sırası ile $1/(x^2+1)$, $\sec x \cdot \tan x$ ve $-\sin x$ fonksiyonlarıdır. Zincir kuralı gereği bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir ve  \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{\frac1{x^2+1}}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\tan (\arctan x)\cdot \sec(\arctan x)}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{\left(-\sin(\sec(\arctan x))\right)}_{f_3^\prime(f_2(f_1(x)))}\end{align*} eşitliği sağlanır.

Ek sadeleştirmeler:
Her pozitif $t$ gerçel sayısı için $\sec^2 t=\tan^2 t+1$ eşitliği sağlanır. Ayrıca $t\in \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ ise $$\sec t=\sqrt{1+\tan^2 t }$$ eşitliği sağlanır.

Her $x$ gerçel sayısı için $\arctan x\in \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ olduğundan  $$\sec (\arctan x)=\sqrt{\tan^2 (\arctan x)+1 }=\sqrt{x^2+1}$$ eşitliği sağlanır.

Bu bilgiyi kullanırsak\begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{\frac1{x^2+1}}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\tan (\arctan x)\cdot \sec(\arctan x)}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{\left(-\sin(\sec(\arctan x))\right)}_{f_3^\prime(f_2(f_1(x)))}\\[15pt] &=\ -\frac1{x^2+1}\cdot x\cdot \sqrt{x^2+1}\cdot \sin(\sqrt{x^2+1})\\[15pt] &=\ -\frac{x\cdot  \sin(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

Answer 2

Sadeleştirmeler:
Her pozitif $t$ gerçel sayısı için $\sec^2 t=\tan^2 t+1$ eşitliği sağlanır. Ayrıca $t\in \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ ise $$\sec t=\sqrt{1+\tan^2 t }$$ eşitliği sağlanır.

Her $x$ gerçel sayısı için $\arctan x\in \left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$ olduğundan  $$\sec (\arctan x)=\sqrt{\tan^2 (\arctan x)+1 }=\sqrt{x^2+1}$$ eşitliği sağlanır.

Fonksiyonun kuralını düzenleme:
Her $x$ gerçel sayısı için $$f(x) \ = \ \cos(\sec(\arctan x)) \ = \ \cos (\sqrt{x^2+1})$$ eşitliği sağlanır.

Zincir kuralına uygun yazma:
$f$ fonksiyonunun kuralını  $$f(x)=\cos(\sqrt{x^2+1})=\underbrace{\left(\cos x\right)}_{f_3(x)}\circ\underbrace{\left(\sqrt x\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(x^2+1\right)}_{f_1(x)}$$ olarak yazabiliriz. 

Zincir kuralını uygulama:
Kuralı $x^2+1$, $\sqrt x$ ve $\cos x$ olan fonksiyonlar tanımlı olduğu noktalar üzerinde türevlenebilir fonksiyonlardır ve türevleri sırası ile $2x$, $1/(2\sqrt x)$ ve $-\sin x$ fonksiyonlarıdır. Zincir kuralı gereği bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir ve  \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{2x}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\frac1{2\sqrt{x^2+1}}}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{\left(-\sin(\sqrt{x^2+1})\right)}_{f_3^\prime(f_2(f_1(x)))}\\[15pt] &=\ -\frac{x\cdot  \sin(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*} eşitliği sağlanır.