En geniş tanım aralığı:
$e^x$, $\arctan x$ kurallı fonkisyonlar gerçel sayılar üzerinde, $\sqrt x$ kurallı fonksiyon negatif olmayan gerçel sayılar üzerinde ve $\ln x$ kurallı fonksiyon pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı olduğundan $$x>0 \ \ \ \text { ve } \ \ \ 2+\ln x\ge 0 \ ( \text {yani } x\ge e^{-2})$$ olduğunda $f$ fonksiyonu $x$ noktasında tanımlı olur. Bu eşitsizlikler $f$fonksiyonunun en geniş tanım kümesinin $$[e^{-2},\infty)$$ olduğunu verir.
Türev fonksiyonu:
$(e^{-2},\infty)$ açık aralığı üzerinde üzere \begin{align*}f^\prime (x)\ &= \ \left[\underbrace{(e^x)}_{f_2(x)}\circ \underbrace{(\arctan(1-\sqrt{2+\ln x}))}_{f_1(x)}\right]^\prime \\[20pt]&= \ \underbrace{(e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln x})})}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{(\arctan(1-\sqrt{2+\ln x}))^\prime }_{f_1^\prime (x)}\\[20pt]&= \ e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln x})}\cdot (\underbrace{\arctan x}_{g_2(x)}\circ \underbrace{(1-\sqrt{2+\ln x})}_{g_1(x)})^\prime \\[20pt]&= \ e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln x})}\cdot \underbrace{\frac1{1+(1-\sqrt{2+\ln x})^2}}_{g_2^\prime(g_1(x))}\cdot \underbrace{(1-\sqrt{2+\ln x})^\prime}_{g_1^\prime(x)} \\[20pt]&= \ e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln x})}\cdot \frac1{1+(1-\sqrt{2+\ln x})^2}\cdot(1- \underbrace{(x^{1/2})}_{h_2(x)}\circ \underbrace{(2+\ln x)}_{h_1(x)})^\prime\\[20pt]&= \ e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln x})}\cdot \frac1{1+(1-\sqrt{2+\ln x})^2}\cdot\left(0- \underbrace{\frac12(2+\ln x)^{-1/2}}_{h_2^\prime(h_1(x))}\cdot \underbrace{(0+\frac1x)}_{h_1^\prime (x)}\right)\\[20pt]&= \ e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln x})}\cdot \frac1{1+(1-\sqrt{2+\ln x})^2}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{2+\ln x}}\cdot \frac1x\end{align*} eşitliği sağlanır.
Türev değerlerinin negatif olması:
$a>e^{-2}$ bir gerçel sayı olmak üzere $$f^\prime (a)=e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln a})}\cdot \frac1{1+(1-\sqrt{2+\ln a})^2}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{2+\ln a}}\cdot \frac1a $$ ifadesi, üçüncü çarpan negatif ve diğer çarpanlar pozitif değerler aldığından, negatif değerler alır.
f fonksiyonun bir terse sahip olması:
Sürekli $f$ fonksiyonu için $f^\prime$ fonksiyonu $\mathbb R_{>e^{-2}}$ üzerinde negatif değerler aldığından $f$ azalan bir fonksiyondur. Azalan fonksiyonlar birebirdir. Birebir fonksiyonlar ters fonksiyona sahiptir.
f(c)=1 eşitliğini sağlayan değer:
Teris işlemler yaparsak \begin{align*}e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln c})}=1 \quad &\iff \quad \arctan(1-\sqrt{2+\ln c})=0\\[20pt]&\iff \quad 1-\sqrt{2+\ln c}=0\\[20pt]&\iff \quad \sqrt{2+\ln c}=1\\[20pt]&\iff \quad 2+\ln c=1\\[20pt]&\iff \quad \ln c=-1\\[20pt]&\iff \quad c=e^{-1}\end{align*}eşitliği sağlandığından ve $f$ birebir bir fonksiyon olduğundan $f(c)=0$ eşitliğini sağlayan biricik $c$ değeri $e^{-1}$ olur.
Türev fonksiyonun $e^{-1}$ noktasındaki değeri:
$\sqrt{2+\ln e^{-1}}=\sqrt{2-1}=1$ olduğundan \begin{align*}f^{\prime}(e^{-1})\ &= \ e^{\arctan(1-\sqrt{2+\ln e^{-1}})}\cdot \frac1{1+(1-\sqrt{2+\ln e^{-1}})^2}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{2+\ln e^{-1}}}\cdot \frac1{e^{-1}} \\[17pt] &=\ e^{\arctan(1-1)}\cdot \frac1{1+(1-1)^2}\cdot\frac{-1}{2\sqrt{1}}\cdot e\\[17pt] &=\ 1\cdot \frac12\cdot \frac{-1}2\cdot e\\[17pt] &=\ -\frac e4\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
f fonksiyonunun tersinin türevi:
$f^\prime$ fonksiyonu $\mathbb R_{>e^{-2}} $ üzerinde pozitif değerler aldığından $f^{-1}$ fonksiyonu türevlenebilir ve türev değerleri, $f(e^{-2})$ hariç tanım kümesindeki her $a$ değeri için, $$f^{-1}(a)=\frac1{f^\prime\left(f^{-1}(a)\right)}$$ eşitliğini sağlar.
Ters fonksiyonun 0 noktasındaki türevi:
Bu bilgilerle \begin{align*}\left(f^{-1}\right)^\prime(1)\ &= \ \frac1{f^\prime\left(f^{-1}(1)\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{f^\prime\left(e^{-1}\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{-e/4}\\[17pt] &=\ -\frac4e\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
