Türev fonksiyonu:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$f^\prime (a)=5a^4+1$$ eşitliği sağlanır.
Türev değerlerinin pozitif olması:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $a^4$ negatif olmayan değerler aldığından \begin{align*}f^\prime (a)\ &= \ 5a^4+1\\[17pt] &\ge\ 5\cdot 0+1\\[17pt] & \ge \ 1\\[17pt] & >\ 0\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
f fonksiyonun bir terse sahip olması:
$f^\prime$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde pozitif değerler aldığından $f$ artan bir fonksiyondur. Artan fonksiyonlar birebirdir. Birebir fonksiyonlar ters fonksiyona sahiptir.
f(c)=2 eşitliğini sağlayan değer:
$f$ birebir olduğundan ve $$f(1)=1^5+1=2$$eşitliği sağlandığından $f(c)=2$ eşitliğini sağlayan biricik $c$ değeri $1$ olur.
f fonksiyonunun tersinin türevi:
$f^\prime$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde pozitif değerler aldığından $f^{-1}$ fonksiyonu türevlenebilir ve türev değerleri, tanım kümesindeki her $a$ değeri için, $$f^{-1}(a)=\frac1{f^\prime\left(f^{-1}(a)\right)}$$ eşitliğini sağlar.
Ters fonksiyonun 2 noktasındaki türevi:
Bu bilgilerle \begin{align*}\left(f^{-1}\right)^\prime(2)\ &= \ \frac1{f^\prime\left(f^{-1}(2)\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{f^\prime\left(1\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{5\cdot 1^4+1}\\[17pt] &=\ \frac16\end{align*} eşitliğini elde ederiz.