$x^3+y^3(x)+3xy(x)=5$ ve $y(1)=1$ ise $y^\prime(1)$ değeri

Question

Türevlenebilir $y:\mathbb R_+\to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$x^3+y^3(x)+3xy(x)=5$$ ve $y(1)=1$ eşitliğini sağladığına göre $y$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevini bulunuz.

Answer 1

Türev alma:
$y$ fonksiyonu türevlenebilir olduğundan, pozitif gerçel sayılar üzerinde, $$3x^2+3y^2(x)y^\prime(x)+3 y(x)+3  x y^\prime(x)=0$$ eşitliği sağlanır.

Özel durum için hesaplama:
$(1,y(1))=(1,1)$ noktasında bu eşitlik bize $$3+3y^\prime(1)+3+3 y^\prime(1)=0\ \ \ \text{ yani }\ \ \ y^\prime(1)=-1$$ olduğunu verir.