+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R \to \mathbb R$ bir fonksiyon olmak üzere $f(8)=f^\prime(8)=1$ eşitliği sağlanıyorsa $$\lim\limits_{x\to 8}\frac{f^2(x)-1}{x^{1/3}-2}$$ değerini bulunuz.

2 Cevaplar

0 oy
tarafından
$0/0$ belirsizliği var. Bir kere l'Hôpital uygularsak \begin{align*}
\lim\limits_{x\to 8}\frac{f^2(x)-1}{x^{1/3}-2}\ &=  \ \lim\limits_{x\to 8}\frac{2\cdot f(x)\cdot f^\prime(x)}{\frac13\cdot x^{-2/3}}\\[15pt] &= \ \frac{2\cdot f(8)\cdot f^\prime(8)}{\frac13\cdot 8^{-2/3}}\\[15pt] &= \  \frac{2\cdot 1\cdot 1}{\frac13\cdot \frac14}\\[15pt] &= \ 24\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
0 oy
tarafından
$0/0$ belirsizliği var. $f^2(x)-1$ ifadesini $(f(x)-1)\cdot (f(x)+1)$ olarak çarpanlara ayıralım ve türev bilgisini kullanabilmek için payı ve padayı $x-8$ ile çarparak ifadeyi uygun bir biçimde düzenleyelim. Bu düzenleme ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 8}\frac{f^2(x)-1}{x^{1/3}-2}\ &=  \ \lim\limits_{x\to 8}\frac{(f(x)-1)\cdot (f(x)+1)}{x^{1/3}-2}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 8}\left[\frac{(f(x)-1)\cdot (f(x)+1)}{x^{1/3}-2}\cdot \frac{x-8}{x-8}\right]\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 8}\left[\frac{f(x)-1}{x-8}\cdot (f(x)+1)\cdot \frac{x-8}{x^{1/3}-2}\right]\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

İlk çarpanın limiti $f$ fonksiyonunun $8$ noktasındaki türevine yani $1$ değerine eşittir. İkinci çarpan $f$ fonksiyonunun $8$ noktasındaki sürekliliği gereği $f(8)+1$ yani $2$ değerine eşittir.

Üçüncü çarpanın payı $t=x^{1/3}$ gibi bir dönüşüm fikri ile $t^3-8$ yani $t^3-2^3$ ifadesine dönüştürülebilir. Bu ifade $(t-2)\cdot (t^2+2t+4)$ olarak çarpanlarına ayrılabilir, ve sadeleştirme yaparak sonuca varabiliriz. Bu fikir ile \begin{align*}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 8}\left[\frac{f(x)-1}{x-8}\cdot (f(x)+1)\cdot \frac{(x^{1/3}-2)\cdot (x^{2/3}+2x^{1/3}+4)}{x^{1/3}-2}\right]\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 8}\left[\frac{f(x)-1}{x-8}\cdot (f(x)+1)\cdot (x^{2/3}+2x^{1/3}+4)\right]\\[15pt] &= \ f^\prime(8)\cdot (f(8)+1)\cdot (8^{2/3}+2\cdot 8^{1/3}+4)\\[15pt] &= \ 24\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
...