$f(x)=\begin{cases} x^2+3,&x\le 2 \text{ ise}, \\ 2x+1,&x> 2 \text{ ise}. \end{cases}$ ise $\lim\limits_{x\to 0} f(x)+\lim\limits_{x\to 3} f(x)$ değeri

Question

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=\begin{cases} x^2+3,&x\le 2 \text{ ise}, \\ 2x+1,&x> 2 \text{ ise}. \end{cases}$ olmak üzere $$\lim\limits_{x\to 0} f(x)+\lim\limits_{x\to 3} f(x)$$ değerini bulunuz.

Answer 1

(1) $f$ fonksiyonun $x\le 2$ değeri için görüntüsü $x^2+3$ olduğundan $0$ değerinin bir civarında, örnegin $(-1,1)$ aralığı üzerinde, $f(x)=x^2+3$ eşitliği sağlanır.

Polinomlar sürekli olduklarından $$\lim\limits_{x\to 0} f(x)=\lim\limits_{x\to 0} (x^2+3)=0^2+3=3$$ eşitliği sağlanır.

(2) $f$ fonksiyonun $x> 2$ değeri için görüntüsü $2x+1$ olduğundan $3$  değerinin bir civarında, örnegin $(2,4)$ aralığı üzerinde, $f(x)=2x+1$ eşitliği sağlanır.

Polinomlar sürekli olduklarından $$\lim\limits_{x\to 3} f(x)=\lim\limits_{x\to 3} (2x+1)=2\cdot 3+1=7$$ eşitliği sağlanır.

(3) Bulduğumuz bu değerleri toplarsak $$\lim\limits_{x\to 0} f(x)+\lim\limits_{x\to 3} f(x)=3+7=10$$ eşitliğini elde ederiz.