$f(x)=2^x-x+1$ ise $\lim\limits_{x\to 0}(f\circ f \circ f)(x)$ limitinin değeri

Question

$f:[-2,7]\to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $f(x)=2^x-x+1$ olmak üzere$$\lim\limits_{x\to 0}(f\circ f \circ f)(x)$$ limitinin değerini bulunuz.

Answer 1

Kullanacağımız bilgi:
$a$ ve $L$ gerçel sayılar olmak üzere $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $L$ ve $g$ fonksiyonu $L$ noktasında sürekli ise $$\lim\limits_{x\to a}(g \circ f)(x)=g(\lim\limits_{x\to a}f(x))=g(L)$$ eşitliği sağlanır.

Not: Buradaki $f$ genel bir sav için verilmiş olup soruda belirtmiş olduğumuz $f$ fonksiyonundan bağımsızdır.

Sonucu bulma:
Verilen $f$ fonksiyonu bilindik sürekli fonksiyonların toplam ve farkından oluştuğundan sürekli bir fonksiyondur. 

(1) $f$ fonksiyonu sürekli ve $f(0)=2^0-0+1=2$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)=2$$ eşitliği sağlanır.

(2) $f$ fonksiyonu sürekli, $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=2$ ve $f(2)=2^2-2+1=3$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0}(f \circ f)(x)=f(2)=3$$ eşitliği sağlanır.

(3) $f$ fonksiyonu sürekli, $\lim\limits_{x\to 0}(f \circ f)(x)=3$ ve $f(3)=2^3-3+1=6$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to 0}(f \circ f \circ f)(x)=\lim\limits_{x\to 0}(f \circ (f \circ f))(x)=f(3)=6$$ eşitliği sağlanır.

Answer 2

Sürekli fonksiyonların bileşkeleri de süreklidir. Bu bilgiyi kullanırsak $f$ sürekli fonksiyonu için $f\circ f\circ f$ fonksiyonu da sürekli olur ve \begin{align*} \lim\limits_{x\to 0}(f \circ f \circ f)(x)\ &=\ f(f(f(0)))\\[17pt] &=\ f(f(2^0-0+1))\\[17pt] &=\ f(f(2))\\[17pt] &=\ f(2^2-2+1)\\[17pt] &=\ f(3)\\[17pt] &=\ 2^3-3+1\\[17pt] &=\ 6\end{align*} eşitliği sağlanır.