+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$f:[0,3]\to \mathbb R$ olmak üzere $$\lim\limits_{x\to 1}(f(x)^2+2f(x)-3)=-4$$ eşitliği sağlanıyorsa $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ değerini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta:
$f$ fonksiyonunun $1$ noktasında limitinin var olup olmadığını bilmiyoruz. Limitin var olduğunu kabul edip olası limit değerleri bulabiliriz. Bu durumda bulduğumuz limit değeri varsa elbette o değere eşit olmalıdır. Eğer yoksa zaten hiç olmamıştır.

Limitin var olduğunu kabul edip bir sonuç bulma:
Diyelim ki $f$ fonksiyonu $1$ noktasında bir limit değerine sahiptir. Bu değere $L$ diyelim. 

Verilen fonksiyonu bileşke olarak $$(x^2+2x-3)\circ f(x)$$ olarak yazabiliriz. Polinomlar sürekli olduğundan ve $f$ fonksiyonu $1$ noktasında $L$ limit değerine sahip olduğundan $\lim\limits_{x\to 1}(f(x)^2+2f(x)-3)=L^2+2L-3$ değerine eşit olur ve $$L^2+2L-3=-4 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ (L+1)^2=0$$ eşitliğini elde ederiz. Buradan gelen olası bir $L$ değeri vardır ve $-1$ değerine eşittir.

Burada limit değerinin varlığını kabul ettiğimizden elde ettiğimiz sonuç limit değeri varsa bu değer $-1$ olmalıdır olur.

Limitin var olduğunu kabul etmeden sonucu bulma:
Üstte güzel bir fikir edindik. Bunu limit bilgilerimiz ile güzel bir şekilde harmanlayabilirsek limit değerinin var olduğunu kabul etmeden de sonuca ulaşabiliriz.

(1)  $\lim\limits_{x\to 1}(f(x)^2+2f(x)-3)=-4$ ve  $\lim\limits_{x\to 1}4=4$ olduğundan bunların toplamı ile $$\lim\limits_{x\to 1}(f(x)+1)^2=\lim\limits_{x\to 1}((f(x)^2+2f(x)-3)+4)=-4+4=0$$ eşitliği sağlanır.

(2) Üst ifadenin limitinin sıfır olmasından ziyade ifade sıfıra sağdan yaklaşıyor. Kare kök fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğundan $$\lim\limits_{x\to 1}|f(x)+1|=\lim\limits_{x\to 1}\sqrt{(f(x)+1)^2}=\sqrt0=0$$ eşitliğini elde ederiz.

Not: Burada kullandığımız bilgi aşağıdaki savın parantez içindeki değişimlerle bir uyarlamasıdır.
$a$ ve $L$ gerçel sayılar olmak üzere $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti (sağdan yaklaşarak) $L$ ve $g$ fonksiyonu $L$ noktasında (sağdan) sürekli ise $$\lim\limits_{x\to a}(g \circ f)(x)=g(\lim\limits_{x\to a}f(x))=g(L)$$ eşitliği sağlanır.

(3)  Mutlağının limiti sıfır olan bir fonksiyonun kendi limiti de sıfırdır. Bu bilgi ile $$\lim\limits_{x\to 1}(f(x)+1)=0$$ eşitliğini elde ederiz.

(4) $\lim\limits_{x\to 1}(f(x)+1)=0$ ve $\lim\limits_{x\to 1}(-1)=-1$ olduğundan $$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\left((f(x)+1)+(-1)\right)=0+(-1)=-1$$ eşitliği sağlanır.

...