+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^3+x^2-2}{x^2+x-2}$$ limitini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(x-1)\cdot (x^2+2x+2)$ ve paydayı $(x-1)\cdot (x+2)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^3+x^2-2}{x^2+x-2}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x-1)\cdot (x^2+2x+2)}{(x-1)\cdot (x+2)}\\[12pt]\ &= \  \lim_{x\to  1}\dfrac{x^2+2x+2}{x+2}\\[12pt]\ &= \  \dfrac{1^2+2\cdot 1+2}{1+2}\\[12pt]\ &= \ \frac43\end{align*}eşitliğini buluruz.

$x^3+x^2-2$ polinomunum bir çarpanının $x-1$ olduğunu kullanarak çarpanlara ayırmaya çalışalım.

(1) Bir yol olarak $$x^3+x^2-2=(x-1)\cdot (ax^2+bx+c)$$ olarak yazdığımızda baş kat sayı ve sabit terim gereği $a=1$ ve $c=2$ eşitliği sağlanır. Geriye $b$ değerini bulmak kalıyor. Bu değeri kökler toplamı fikri ya da direkt katsayı hesaplama ile bulabiliriz. İki yol ile de $b-1=1$ eşitliği ile $b=2$ olduğunu bulabiliriz.

(2) Bir diğer yol olarak $$x^3-1=(x-1)\cdot (x^2+x+1)\ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-1=(x-1)\cdot (x+1)$$ eşitliklerini kullanabiliriz. İfadeyi \begin{align*}x^3+x^2-2 \ &= \ (x^3-1)+(x^2-1)\\[10pt] &= \ (x-1)\cdot \left[(x^2+x+1)+(x+1)\right]\\[10pt] &=\ (x-1)\cdot (x^2+2x+2)\end{align*} eşitliğini elde ederiz.

...