$y\left(\dfrac\pi2\right)=\dfrac{9\pi}4$ ve $\sin x+\cos (2\cdot y(x))=\dfrac2\pi x$ ise $y^{\prime}\left(\dfrac\pi2\right)$ değeri

Question

Türevlenebilir $y:(0,2) \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac{7\pi}4\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin x+\cos (2\cdot y(x))=\frac2\pi x$$ eşitliğini sağladığına göre $y^{\prime}\left(\frac\pi2\right)$ değerini bulunuz.

Answer 1

Zincir kuralı:
$y$ fonksiyonu türevlenebilir olduğundan, zincir kuralı ile, $x\in (0,2)$ değerleri için $$\cos x-2y^\prime(x)\sin (2\cdot y(x))=\frac2\pi$$ eşitliği sağlanır. 

Sonuç:
Bu eşitliği özel olarak $\pi/2$ noktasında incelersek  \begin{align*}\frac2\pi\ &=\ \cos \left(\frac\pi2\right)-2y^\prime\left(\frac\pi2\right)\sin \left(2\cdot y\left(\frac\pi2\right)\right)\\[17pt] &= \ 0- 2y^\prime\left(\frac\pi2\right)\sin \left(2\cdot \frac{7\pi}4\right)\\[17pt] &= \ -2y^\prime\left(\frac\pi2\right)\sin \left( \frac{7\pi}2\right)\\[17pt] &= \  -2y^\prime\left(\frac\pi2\right)\cdot (-1) \\[17pt] &= \  2y^\prime\left(\frac\pi2\right)\end{align*} eşitliği sağlanır. Bu eşitlik ile $y^\prime\left(\frac\pi2\right)=\frac1\pi$ eşitliğini elde ederiz.