+1 oy
Türev kategorisinde tarafından

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=x^5+x$$ olsun.

(1) $f$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
(2) Her gerçel $a$ değeri için $f^\prime(a)>0$ olduğunu gösteriniz.
(3) $f$ fonksiyonunun bir ters fonksiyona sahip olduğunu gösteriniz.
(4)  $f(c)=2$ eşitliğini sağlayan biricik $c$ değerini bulunuz.
(5) $f^{-1}$ fonksiyonunun $2$ noktasındaki türevini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Türev fonksiyonu:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$f^\prime (a)=5a^4+1$$ eşitliği sağlanır. 

Türev değerlerinin pozitif olması:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $a^4$ negatif olmayan değerler aldığından  \begin{align*}f^\prime (a)\ &= \ 5a^4+1\\[17pt] &\ge\  5\cdot 0+1\\[17pt] & \ge \ 1\\[17pt] & >\ 0\end{align*} eşitsizliği sağlanır.

f fonksiyonun bir terse sahip olması:
$f^\prime$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde pozitif değerler aldığından $f$ artan bir fonksiyondur. Artan fonksiyonlar birebirdir. Birebir fonksiyonlar ters fonksiyona sahiptir.

f(c)=2 eşitliğini sağlayan değer:
$f$ birebir olduğundan ve $$f(1)=1^5+1=2$$eşitliği sağlandığından  $f(c)=2$ eşitliğini sağlayan biricik $c$ değeri $1$ olur.

f fonksiyonunun tersinin türevi:
$f^\prime$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde pozitif değerler aldığından $f^{-1}$ fonksiyonu türevlenebilir ve türev değerleri, tanım kümesindeki her $a$ değeri için,  $$f^{-1}(a)=\frac1{f^\prime\left(f^{-1}(a)\right)}$$ eşitliğini sağlar.

Ters fonksiyonun 2 noktasındaki türevi:
Bu bilgilerle \begin{align*}\left(f^{-1}\right)^\prime(2)\ &= \ \frac1{f^\prime\left(f^{-1}(2)\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{f^\prime\left(1\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{5\cdot 1^4+1}\\[17pt] &=\ \frac16\end{align*}  eşitliğini elde ederiz. 

...