+1 oy
Türev kategorisinde tarafından
$n$ bir pozitif tam sayı ve $f:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\sin^2 x$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun $n$. mertebeden türevini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından
Birkaç türev alma ve başa dönme:
Zincir kualı kullanarak birkaç türev alırsak\begin{alignat*}{3}f^\prime(x) \ &= \ 2\sin x\cdot \cos x\ &&= \ \sin 2x \\[10pt]f^{\prime\prime}(x) \ &= \ 2\cos 2x\ &&= \ 2\cdot \sin\left(2x+\frac\pi2\right) \\[10pt]f^{\prime\prime\prime}(x) \ &= \ -2^2\sin 2x\ &&= \ 2^2\cdot \sin\left(2x+2\cdot \frac\pi2\right) \\[10pt]f^{(4)}(x) \ &= \ -2^3\cos 2x\ &&= \ 2^3\cdot \sin\left(2x+3\cdot \frac\pi2\right) \end{alignat*} eşitliklerini elde ederiz.

Düzen için bir fikir:
Bu fonksiyonun makul ilerlemesine bakarsak, her $n$ pozitif tam sayısı için $$f^{(n)}(x)=2^{n-1}\cdot \sin\left(2x+(n-1)\cdot \frac\pi2\right)$$ eşitliği sağlanmalıdır.

Tümevarım ile bu fikri doğrulama:
İlk türev (ve hatta dördüncü türeve kadar) bu eşitlik sağlanıyor. Bir $k\ge 1$ pozitif tam sayısı için sağlandığını kabul edersek \begin{align*}f^{(k+1)}(x)\ &= \ \frac d{dx}f^{(k)}(x)\\[17pt] &= \ \frac d{dx}\left[2^{k-1}\cdot \sin\left(2x+(k-1)\cdot \frac\pi2\right)\right]\\[17pt] &= \ 2^{k-1}\cdot 2\cdot \cos \left(2x+(k-1)\cdot \frac\pi2\right)\\[17pt] &= \ 2^{k}\cdot \sin\left(2x+k\cdot \frac\pi2\right)\end{align*} eşitliği sağlanır. Bu da ispatı tümvarım yolu ile bitirir.
...