+1 oy
Türev kategorisinde tarafından
$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=\sqrt[5]{\sin\sqrt[3]{x}}$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun türevini bulunuz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Zincir kuralına uygun yazma:
$f$ fonksiyonunun kuralını  \begin{align*}f(x) \ &= \ \sqrt[5]{\sin\sqrt[3]{x}}\\[17pt] &= \ \left(\sin\left(x^\frac13\right)\right)^\frac15\\[17pt] &= \ \underbrace{\left(x^{1/5}\right)}_{f_3(x)}\circ\underbrace{\left(\sin x\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(x^{1/3}\right)}_{f_1(x)}\end{align*} olarak yazabiliriz.

Zincir kuralını uygulama:
Kuralı $x^{1/5}$ ve $x^{1/3}$ olan fonksiyonlar sıfır hariç her noktada türevlenebilir ve kuralı $\sin x$ olan fonksiyon gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir ve türevleri sırası ile $(1/5)\cdot x^{-4/5}$, $(1/3)\cdot x^{-2/3}$ ve $\cos x$ fonksiyonlarıdır. Zincir kuralı gereği bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonunun türev kuralı, tanımlı olduğu yerlerde, \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{\frac13x^{\frac13-1}}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\cos\left(x^{\frac13}\right)}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{\frac{1}5\left(\sin\left(x^{\frac13}\right)\right)^{\frac{1}5-1}}_{f_3^\prime(f_2(f_1(x)))}\\[15pt] &=\ \frac1{15}\cdot x^{-\frac23}\cdot \cos \sqrt[3]{x}\cdot\left(\sin\sqrt[3]{x}\right)^{-\frac45} \end{align*} eşitliğini sağlar.

...