$e^x+e^y=e^{x+y}$ ise $y^\prime$ türevini bulunuz.

Question

$y$, $x$ değişkenine bağlı türevlenebilir bir fonksiyon ve  $$e^x+e^y=e^{x+y}$$ ise $y^\prime$ türevini bulunuz.

Answer 1

Verilen eşitliğin türevini alırsak $$e^x+e^y\cdot y^\prime=e^{x+y}\cdot (1+y^\prime)$$ eşitliği sağlanır. Biraz düzenleme yaparsak, tanımlı olmayı bozmadan, \begin{align*}e^x+e^y\cdot y^\prime&=e^{x+y}\cdot (1+y^\prime)\\[17pt] &\iff \quad e^x+e^y\cdot y^\prime=e^{x+y}+e^{x+y}\cdot y^\prime\\[17pt]&\iff \quad e^y\cdot y^\prime-e^{x+y}\cdot y^\prime=e^{x+y}-e^x\\[17pt]&\iff \quad  y^\prime \cdot \left(e^y-e^{x+y}\right)=e^{x+y}-e^x\\[17pt]&\iff \quad y^\prime=\frac{e^{x+y}-e^x}{e^y-e^{x+y}}\end{align*} eşitliği sağlanır.