İntegrallenebilir bir fonksiyonu sabit ile çarpma (ispat)

Question

$b>a$ gerçel sayıları için $f:[a,b] \to \mathbb R$ bir sınırlı fonksiyon ve $c$ bir gerçel sayı olsun. $f$ fonksiyonu Darbaux integrallenebilir ise $c\cdot f$ fonksiyonu da Darbaux integrallenebilir ve  $$\int_a^b(c\cdot f)(x)\ dx\ = \ c\cdot \int_a^b f(x) \ dx$$ eşitliği sağlanır.

Answer 1

$c$ değerinin işaretine göre ispatı ikiye ayırma:
İlk olarak $c$ gerçel sayısını negatif olmayan olarak kabul edelim. Bu kabulü yapmamızın temel sebebi negatif değerlerle çarpım supremum ve infimum değerlerini negatif olmayandan farklı etkilemesinden kaynaklanır. Bu durumu göz önünde bulundurarak ispatı iki ayrı durumda inceleyeceğiz.

$f$ ve $c\cdot f$ fonksiyonlarının infimum ve supremum ilişkisi:
$S$ kümesi $[a,b]$ kapalı aralığının boş olmayan bir alt kümesi olsun. $c$ negatif olmayan bir gerçel sayı olduğundan $$\inf_{S}(c\cdot f)=c\cdot \inf_Sf\ \ \ \text{ ve }\ \ \ \sup_S(c\cdot f)=c\cdot \sup_Sf$$ eşitlikleri, supremum ve infimum özellikleri gereği, sağlanır.

Aynı parçalanış üzerinde $f$ ve $c\cdot f$ fonksiyonlarının alt-üst toplam ilişkisi:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $[a,b]$ aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışını alalım. Bu $P$ parçalanışı için \begin{alignat*}{2}L(c\cdot f;P)\ &= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\inf_{I_k}(c\cdot f)\cdot |I_k|\ &&= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\left(c\cdot\inf_{I_k} f\right)\cdot |I_k|\\[10pt] &= \ c\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\inf_{I_k} f\cdot |I_k| &&= \ c\cdot L(f;P)\end{alignat*} ve \begin{alignat*}{2}U(c\cdot f;P)\ &= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\sup_{I_k}(c\cdot f)\cdot |I_k|\ &&= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\left(c\cdot\sup_{I_k} f\right)\cdot |I_k|\\[10pt] &= \ c\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\sup_{I_k} f\cdot |I_k|  &&= \ c\cdot U(f;P)\end{alignat*} eşitlikleri sağlanır. 

$f$ ve $c\cdot f$ fonksiyonlarının alt-üst toplam ilişkisi:
$\mathcal P$ küumesi $[a,b]$ aralığının tüm parçalanışlarının kümesi olarak tanımlayalım. $c$ negatif olmayan bir gerçel sayı olduğundan  \begin{alignat*}{2}L(c\cdot f)\ &= \ \sup_{P\in \mathcal P}\bigg\{L(c\cdot f;P)\bigg\}\ &&= \ \sup_{P\in \mathcal P}\bigg\{c\cdot L(f;P)\bigg\}\\[10pt]\ &= \ c\cdot \sup_{P\in \mathcal P}\bigg\{L(f;P)\bigg\}\ &&= \ c\cdot L(f)\end{alignat*}  ve  \begin{alignat*}{2} U(c\cdot f)\ &= \ \inf_{P\in \mathcal P}\bigg\{U(c\cdot f;P)\bigg\}\ &&= \ \inf_{P\in \mathcal P}\bigg\{c\cdot U(f;P)\bigg\}\\[10pt]\ &= \ c\cdot \inf_{P\in \mathcal P}\bigg\{U(f;P)\bigg\}\ &&= \ c\cdot U(f)\end{alignat*} eşitlikleri sağlanır. 

$c\cdot f$ fonksiyonunun Darboux integrallenebilmesi ve integral değeri:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden $L(f)=U(f)$ eşitliği sağlanır. Üst eşitlik gereği $$L(c\cdot f)=c\cdot L(f)=c\cdot U(f)=U(c\cdot f)$$ eşitliğini elde ederiz ve tanım gereği $c\cdot f$ fonksiyonunun Darboux integrallenebildiğini göstermiş oluruz. Ayrıca $c\cdot f$ fonksiyonunun integral değeri $$\int_a^b(c\cdot f)(x)\ dx\ =\ U(c\cdot f)\ =\ c\cdot U(f)\ =\ c\cdot \int_a^bf(x)\ dx$$ eşitliğini sağlar.

$c$ değeri negatif olduğunda:
$c$ negatif olduğunda ispat benzer bir şekilde verilebilir. Bu ispatı ayrı bir cevap olarak aşağıda vereceğiz.

Answer 2

$c$ değeri negatif olduğunda da ispatı benzer bir şekilde yapabiliriz.

$f$ ve $c\cdot f$ fonksiyonlarının infimum ve supremum ilişkisi:
$S$ kümesi $[a,b]$ kapalı aralığının boş olmayan bir alt kümesi olsun. $c$ negatif bir gerçel sayı olduğundan $$\inf_{S}(c\cdot f)=c\cdot \sup_Sf\ \ \ \text{ ve }\ \ \ \sup_S(c\cdot f)=c\cdot \inf_Sf$$ eşitlikleri, supremum ve infimum özellikleri gereği, sağlanır.

Aynı parçalanış üzerinde $f$ ve $c\cdot f$ fonksiyonlarının alt-üst toplam ilişkisi:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $[a,b]$ aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışını alalım. Bu $P$ parçalanışı için \begin{alignat*}{2}L(c\cdot f;P)\ &= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\inf_{I_k}(c\cdot f)\cdot |I_k|\ &&= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\left(c\cdot\sup_{I_k} f\right)\cdot |I_k|\\[10pt] &= \ c\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\sup_{I_k} f\cdot |I_k| &&= \ c\cdot U(f;P)\end{alignat*} ve \begin{alignat*}{2}U(c\cdot f;P)\ &= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\sup_{I_k}(c\cdot f)\cdot |I_k|\ &&= \ \sum\limits_{k=1}^{n}\left(c\cdot\inf_{I_k} f\right)\cdot |I_k|\\[10pt] &= \ c\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\inf_{I_k} f\cdot |I_k|  &&= \ c\cdot L(f;P)\end{alignat*} eşitlikleri sağlanır. 

$f$ ve $c\cdot f$ fonksiyonlarının alt-üst toplam ilişkisi:
$\mathcal P$ küumesi $[a,b]$ aralığının tüm parçalanışlarının kümesi olarak tanımlayalım. $c$ negatif bir gerçel sayı olduğundan  \begin{alignat*}{2}L(c\cdot f)\ &= \ \sup_{P\in \mathcal P}\bigg\{L(c\cdot f;P)\bigg\}\ &&= \ \sup_{P\in \mathcal P}\bigg\{c\cdot U(f;P)\bigg\}\\[10pt]\ &= \ c\cdot \inf_{P\in \mathcal P}\bigg\{U(f;P)\bigg\}\ &&= \ c\cdot U(f)\end{alignat*}  ve  \begin{alignat*}{2} U(c\cdot f)\ &= \ \inf_{P\in \mathcal P}\bigg\{U(c\cdot f;P)\bigg\}\ &&= \ \inf_{P\in \mathcal P}\bigg\{c\cdot L(f;P)\bigg\}\\[10pt]\ &= \ c\cdot \sup_{P\in \mathcal P}\bigg\{L(f;P)\bigg\}\ &&= \ c\cdot L(f)\end{alignat*} eşitlikleri sağlanır. 

$c\cdot f$ fonksiyonunun Darboux integrallenebilmesi ve integral değeri:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden $L(f)=U(f)$ eşitliği sağlanır. Üst eşitlik gereği $$L(c\cdot f)=c\cdot U(f)=c\cdot L(f)=U(c\cdot f)$$ eşitliğini elde ederiz ve tanım gereği $c\cdot f$ fonksiyonunun Darboux integrallenebildiğini göstermiş oluruz. Ayrıca $c\cdot f$ fonksiyonunun integral değeri $$\int_a^b(c\cdot f)(x)\ dx\ =\ U(c\cdot f)\ =\ c\cdot L(f)\ =\ c\cdot \int_a^bf(x)\ dx$$ eşitliğini sağlar.