Sınırlı olma:
$f$ monoton bir fonksiyon olduğundan $f(a)$ ile $f(b)$ arasındaki değerleri alır.
Sabit fonksiyonları dışa alma:
$f(a)=f(b)$ eşitliği sağlanırsa $f$ fonksiyonu bir sabit fonksiyon olur ve Darboux integrallenebilir.
Azalmayan fonksiyonlarla ilgilenme:
$f$ fonksiyonunun azalmayan olduğunu ve sabit olmadığını kabul edelim.
Deltaya uygun bir parçalanış seçme:
$\epsilon >0$ verilsin. $n>\frac{(b-a)\cdot(f(b)-f(a))}{\epsilon}$ olmak üzere eş parçalara ayrılmış, aralıklardan oluşan $P=\{I_1,\cdots, I_n\}$ parçalanışını alalım. Her $1\le k\le n$ tam sayıları için $$|I_k|<\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}$$ eşitsizliği sağlanır.
Aralıkları açık yazma:
İhtiyaç duyacağımızdan $x_0,x_1,\ldots,x_n$ gerçel sayılar olmak üzere $$I_k=[x_{k-1},x_k]$$ olarak yazalım. Ayrıca $x_0=a$ ve $x_n=b$ eşitlikleri sağlanır.
Supremum ve infimum değerleri:
$f$ fonksiyonu bir azalmayan fonksiyon olduğundan $I_k$ üzerinde de bir azalmayan fonksiyon olur. Bu nedenle $$\sup_{I_k}f=\max_{I_k}f=f(x_k)\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \inf_{I_k}f=\min_{I_k}f=f(x_{k-1})$$ eşitlikleri sağlanır.
Cauchy integrallenebilme kıstasına uygun hale getirme:
Elde ettiğimiz eşitlik ve eşitsizlikleri kullanırsak\begin{align*}U(f;P)-L(f;P)&=\sum_{k=1}^n\sup_{I_k}f\cdot |I_k|-\sum_{k=1}^n\inf_{I_k}f\cdot |I_k|\\[10pt]&=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f-\inf_{I_k}f)\cdot |I_k|\\[10pt]&<\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}\sum_{k=1}^n\bigg(f(x_k)-f(x_{k-1})\bigg)\\[10pt]&=\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}\cdot (f(x_n)-f(x_0))\\[10pt]&=\epsilon\end{align*} eşitsizliği sağlanır ve Cauchy integrallenebilme kıstası gereği $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.
Artmayan fonksiyonlarla ilgilenme:
$f$ fonksiyonu atmayan bir fonksiyon ise $-f$ fonksiyonu azalmayan bir fonksiyon olur ve bu kapalı aralık üzerinde sınırlı fonksiyon Darboux integrallenebilir. İntegralin lineer özelliği ile $f=-(-f)$ fonksiyonu da Darboux integrallenebilir.