Bir yön:
$f$ fonksiyonunun Riemann integrallenebilir olduğunu kabul edelim. Cauchy integrallenebilme kıstası gereği verilen $n$ pozitif tam sayısı için $\epsilon=\frac1n>0$ seçimini yaparsak bir $P_n$ parçalanışı bulabiliriz ki $$0 \le U(f;P_n) -L(f;P_n) <\epsilon=\frac1n$$ eşitsizliği sağlanır. Buradan elde ettiğimiz $\{P_n\}$ dizisi için, sıkıştırma savı gereği, $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} [U(f;P_n)-L(f;P_n)]=0$$ eşitliğini elde ederiz.
Diğer yön:
$[a,b]$ kapalı aralığının bir $\{P_n\}$ parçalanış dizisi için $$\lim_{n \to \infty} [U(f;P_n)-L(f;P_n)]=0$$ eşitliğinin sağlandığını kabul edelim. Dizi limiti gereği verilen $\epsilon>0$ için öyle bir $m$ pozitif tam sayısı vardır ki $$U(f;P_m) -L(f;P_m) <\epsilon$$ sağlanır. Bu da bize, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $f$ fonksiyonunun Darboux integrallenebilir olduğunu verir.
Ayrıca...:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$L(f;P_n) \le L(f)\ \ \ \text{ ve } \ \ \ U(f) \le U(f;P_n)$$ eşitsizlikleri sağlanır ve $f$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir olduğundan $$ 0 \le U(f;P_n) -U(f)= U(f;P_n)- L(f) \le U(f;P_n) - L(f;P_n)$$ eşitsizliğini elde ederiz. Sıkıştırma savı gereği, uç limitler sıfır olduğundan, $\lim\limits_{n\to \infty}(U(f;P_n) -U(f))=0$ eşitliğini ve dolayısıyla $$\lim_{n \to \infty} U(f;P_n)=U(f)=\int_a^b f(x)\ dx$$ eşitliğini ve $$\hspace{-12mm}\lim_{n \to \infty} L(f;P_n)=\lim_{n \to \infty} \left[U(f;P_n) - \bigg(U(f;P_n)- L(f;P_n)\bigg)\right]=\int_a^b f(x)dx$$ eşitliğini elde ederiz.