Sınırlı olma:
$f$ fonksiyonu sınırlı olduğundan, doğal olarak, mutlağı da sınırlı olur. Bu nedenle $|f|$ fonksiyonun Darboux integralinin varlığını inceleyebiliriz.
Kullanışlı bir eşitsizlik:
Mutlak değerin ters üçgen eşitsizliği ile her $x,y \in [a,b]$ gerçel sayısı için $$\Big||f(x)|-|f(y)|\Big| \le |f(x)-f(y)|$$ eşitsizliği sağlanır.
Bu eşitsizliği kullanılabilir hale getirme:
$f$ fonksiyonu $|f|$ fonksiyonuna farksal baskın olduğundan herhangi boş olmayan $S\subseteq [a,b]$ kümesi için $$\sup_S|f|-\inf_S|f| \le \sup_S f -\inf_Sf$$ eşitsizliğini verir.
$f$ fonksiyonu için Cauchy kıstası:
$f$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden verilen $\epsilon>0$ için, Cauchy integrallenebilme kıstası gereği, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $[a,b]$ kapalı aralığının aralıklardan oluşan bir $P=\{I_1,\cdots,I_n\}$ parçalanışı vardır ki $$U(f;P)-L(f;P)=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f-\inf_{I_k}f)|I_k| <\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.
$|f|$ fonksiyonu için Cauchy kıstası ve sonuç:
Elde ettiğimiz eşitsizlikleri kullanırsak \begin{align*}U(|f|;P)-L(|f|;P)&=\sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}|f|-\inf_{I_k}|f|)|I_k|\\[10pt]&\le \sum_{k=1}^n(\sup_{I_k}f-\inf_{I_k}f)|I_k| \\[10pt]&<\epsilon\end{align*} eşitsizliği sağlanır ve Cauchy integrallenebilme kıstası gereği $|f|$ fonksiyonu Darboux integrallenebilir.
İntegral eşitsizliği:
$|f|$ fonksiyonu Darboux integrallenebildiğinden, integralin lineer özelliği ile, $-|f|$ fonksiyonu da Darboux integrallenebilir.
Mutlak değerin özelliği ile her $x\in[a,b]$ için $$-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|$$eşitsizliği sağlanlanır. İntegralin baskınlık ve lineer özelliği ile, $$-\int_a^b|f(x)|dx \le \int_a^bf(x)dx \le\int_a^b |f(x)|dx$$eşitsizliği sağlanır. Mutlak değerin özelliği ile $$\left|\int_a^b f(x)dx\right| \le \int_a^b |f(x)|dx $$ eşitsizliğini elde ederiz.