Bir nevi integrallenebilir pozitif fonksiyonlar ile ilgilenme:
$h$ fonksiyonunu $g-f$ farkı olarak tanımlayalım. Her $x\in[a,b]$ için $f(x)\le g(x)$ eşitsizliği sağlandığından $$h(x)=g(x)-f(x)\ge 0$$ eşitsizliği sağlanır.
$h$ fonksiyonu alttan sıfır ile sınırlı olduğundan bir en küçük alt sınırı vardır ve bu en küçük alt sınır sıfırdan büyük eşittir. Bu nedenle $$\inf h\ge 0$$ eşitsizliği sağlanır.
$f$ ve $g$ fonksiyonları Darboux integrallenebilir olduğundan, integralin lineer özelliği ile, $h=g-f$ fonksiyonu da Darboux integrallenebilir ve $$\int_a^b h(x)\ dx \ge L(h;\{[a,b]\})=\inf h\cdot(b-a)\ge 0$$ eşitsizliğini elde ederiz.
İntegrallenebilir iki fonksiyona genelleme:
Elde ettiğimiz bilgileri kullarak\begin{align*}\int_a^b g(x)dx&=\int_a^b(f(x)+h(x) )dx\\[10pt]&=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bh(x)dx\\[10pt]&\ge \int_a^b f(x) dx\end{align*} eşitliğini elde ederiz.