Bir sınavda öğrencilerden $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}$$ limitinin bulunması isteniyor.
Birinci Öğrenci Sercan:
l'Hôpital yöntemini yeni öğrenen Sercan bu soruda bu yöntemi aşağıdaki gibi kullanıp limitin var olmadığı sonucuna varıyor.
Bir kere l'Hôpital uygularsak\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1+\cos x}{1}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}(1+\cos x)\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Bu limit var olsaydı $\cos x=(1+\cos x)-1$ limiti de var olurdu. Sonsuzda $\cos x$ limiti var olmadığından $1+\cos x$ limitinin ve dolayısıyla verilen fonksiyonun limitin var olmadığını çıkarırız.
İkinci Öğrenci Elif:
Bunun yerine klasik limit kurallarını kullanmak isteyen Elif $\sin$ fonksiyonunun sınırlı olduğunu bilgisi ile sıkıştırma savını kullanarak limitin $1$ olduğunu buluyor.
$\sin$ fonksiyonu $[-1,1]$ aralığında değerler alır. Bu bilgi ile, $x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere \begin{align*}-1\le \sin x\le 1 \ &\implies \ x-1 \le \ x+\sin x\ \le x+1 \\[17pt] &\implies \frac{x-1}{x}\le \frac{x+\sin x}x \le \frac {x+1}{x}\\[17pt] &\implies 1-\frac{1}{x}\le \frac{x+\sin x}x \le 1+\frac {1}{x}\end{align*} eşitsizliğini elde ederiz.
Bu eşitsizliğin uçlarındaki limitler $$\lim\limits_{x\to \infty}\left(1-\frac1x\right)=1-0=1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)=1+0=1$$ olduğundan, Sıkıştırma savı gereği, $$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=1$$ eşitliğini elde ederiz.
Soru:
Farklı sonuç veren bu iki kişiden en az birinin çözümünde hata olmalı. Bu hataları bulunuz?