+1 oy
Limit kategorisinde tarafından
$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln x\right)^\frac1x$$ limitini hesaplayınız.

1 cevap

0 oy
tarafından

Logaritma alma:
$\infty^0$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim. Logaritma aldığımızda, $x>1$ gerçel sayıları için \begin{align*}\ln \left(\ln x\right)^{\dfrac1x}\ &= \ \dfrac1x\cdot\ln \left(\ln x\right)\\[15pt] &= \ \dfrac{\ln (\ln x)}{x}\end{align*}eşitliğini sağlanır.

Logaritmasının limiti:
$\infty/\infty$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için  l’Hôpital uygulayalım ve ifadeyi düzenleyelim. $x$ ve $\ln x$ limitlerinin sonsuz olduğunu kullanarak limit değerini bulalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to\infty} \ \dfrac{\ln (\ln x)}{x}\ &= \ \lim\limits_{x\to\infty} \ \dfrac{\dfrac1x\cdot (\ln x)^{-1}}{1} \\[15pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to\infty} \ \dfrac1{x\cdot \ln x}  \\[15pt]&= \ 0 \end{align*}eşitliğini elde ederiz.

Sonuç:
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $0$ noktasında sürekliolduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\ln x\right)^{\dfrac1x}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\exp \left[\ln \left(\left(\ln x\right)^{\dfrac1x}\right)\right]\\[15pt] &= \ \exp\left[ \lim\limits_{x\to \infty}\ln \left(\ln x\right)^{\dfrac1x}\right]\\[15pt] &= \ \exp(0)  \\[15pt] &= \ 1  \end{align*} eşitliğini elde ederiz.

...