Fikir:
Bize verilen $a+a^{-1}=5$ eşitliğidir. Ayrıca ($a$ sıfır olmadığında) $a\cdot a^{-1}=1$ eşitliği sağlanır. Bu iki bilgi ile bu kareleri toplamını bulmayı amaçlıyoruz.
Toplamı ve çarpımı verilen iki sayı için bu sayıların kareleri toplamını nasıl buluruz?
Burada toplamın kare açılımını kullanacağız. Her $x$ ve $y$ gerçel sayısı için $$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$$ eşitliği sağlanır.
Cevap:
Kareleri elde edebilmek için $a+a^{-1}$ ifadesinin karesini alalım. Bu durumda \begin{align*}25=5^2&=(a+a^{-1})^2\\[12pt]&=a^2+a^{-2}+2\cdot a\cdot a^{-1}\\[12pt]&=a^2+a^{-2}+2\cdot 1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
$a^2+a^{-2}+2=25$ eşitliği bize $$a^2+a^{-2}=23$$ olduğunu verir.
Genel sonuç:
$a+a^{-1}=u$ eşitliği sağlanıyorsa \begin{align*}u^2=(a+a^{-1})^2=a^2+a^{-2}+2\cdot a\cdot a^{-1}=a^2+a^{-2}+2\cdot1\end{align*} eşitliği ile $$a^2+a^{-2}=u^2-2$$ olduğunu elde ederiz.