Başlangıç fikri:
Sadeleştirilebilir toplamları hesaplamak nispeten kolaydır. Bu nedenle ifademizi sadeleştirmeye elverişli olabilecek şekilde düzenleyelim.
Toplayacağımız terimleri uygun hale getirme:
$n\ne \pm1$ bir tam sayı olmak üzere (gerçel sayı olsa da sağlanır) \begin{align*}\frac{n^2+1}{n^2-1}&=\frac{(n^2-1)+2}{n^2-1}\\[22pt]&=1+\frac{2}{n^2-1}\\[22pt]&=1+\frac{2}{(n-1)\cdot (n+1)}\\[22pt]&=1+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)\cdot (n+1)}\\[22pt]&=1+\frac{1}{n-1}-\frac1{n+1} \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Örneklendirme:
Bu ifadenin sadeleştirmeye elverişli olduğunu görebilmek için daha bir kısa toplam olan $$\frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\frac{6^2+1}{6^2-1}$$ ile ilgilenelim. Yukarıdaki eşitliği kullanırsak bu ifade \begin{align*}&\left(1+\frac{1}{1}-\frac1{3}\right)\\[22pt]+&\left(1+\frac{1}{3}-\frac1{5}\right)\\[22pt]+&\left(1+\frac{1}{5}-\frac1{7}\right)\end{align*} toplamına eşit olur. Çapraz olarak $\frac13$ ve $\frac15$ sadeleşir. Bu da toplamın $$3\cdot 1+\frac11-\frac17=4-\frac17=\frac{27}7$$ olduğunu verir.
Asıl probleme uygulama:
Bize verilen $$\frac{2^2+1}{2^2-1}+\frac{4^2+1}{4^2-1}+\cdots+\frac{46^2+1}{46^2-1}$$ toplamını \begin{align*}&\left(1+\frac{1}{1}-\frac1{3}\right)\\[22pt]+&\left(1+\frac{1}{3}-\frac1{5}\right)\\[22pt]\vdots&\\[22pt]+&\left(1+\frac{1}{45}-\frac1{47}\right)\end{align*} toplamına eşit olur. Çapraz olarak $\frac13$, $\frac15$, $\ldots$, $\frac1{45}$ sadeleşir. Bu da toplamın $$\frac{46}2\cdot 1+\frac11-\frac1{47}=24-\frac1{47}=\frac{24\cdot 47-1}{47}$$ olduğunu verir.
Sonuç:
Pay ve payda bu hali ile bize biz aramızda asalız diyor. Pay ve paydanın toplamı $$(24\cdot 47-1)+47=25\cdot 47-1=1174$$ olur.
Not: Diğer bir aralarında asal durum ise payın $-(24\cdot 47-1)$ ve paydanın $-47$ olduğu durumdur. Bu durumda da toplamları $-1174$ ile en küçük değerini alır.
Cevabımız: $1174$ olur.