Kullanıcı kayıtları açıktır. Kayıtlı kullanıcılar sadece soru ve cevaplara oy verebilir. Favoriler bölümüne kendi istedikleri soruları ekleyebilirler.
0 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü ve tek başına duran $n!$ ifadesini kullanılabilir bir forma dönüştürmemiz gerekir. Bu ifadeyi $p$-toplam testi ile ilişkilendirmek istersek, $n!$ ifadesinin $n(n-1)$ çarpımından büyük olduğunu kullanabiliriz. Bu şekilde iç ifademiz $1/(n(n-1))$ çarpımından küçük olur. Bu ifadenin limitsel bazda $1/n^2$ ile benzer olduğundan sonuca $p$-test ile varabiliriz. 

Testleri uygulama:

Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n\ge 2$ pozitif tam sayısı için  $n!>n(n-1)>0$ eşitsizliği sağlanır ve  \begin{equation}\label{eq}0 \leq  \frac{1}{n!} \leq  \frac{1}{n(n-1)}\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.

Limit karşılaştırma testi için aday:
Direkt karşılaştırma testine aday toplama terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. Terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{n(n-1)}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n-1} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1-n^{-1}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1-0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$p=2 \ge 1$ olduğundan$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği,  pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac1{n(n-1)}$$ toplamının yakınsak olur.

Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği,  $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n!}$$ toplamının yakınsak olur.

...