Fikir:
Bu toplamın terim limitinin var olmadığından (mutlağının limiti $1$ olduğundan) sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim mutlağının limiti:
Toplam içerisindeki terimin mutlağının limitine baktığımızda (son limitsel eşitliği aşağıda vereceğiz) \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{(-1)^n}{\sqrt[n]n}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt[n]n}\\[12pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \frac1{n^{\frac1n}} \\[12pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac1{x^{\frac1x}} \\[12pt] &= \ \dfrac11 \\[12pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Terim limitinin sıfır olmaması:
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti $0$ ise mutlağının o noktadaki limiti de $0$ olur. Üstte bulduğumuz sıfır olmayan limit gereği $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt[n]n}$ limiti sıfıra eşit olamaz.
-----------
Not: İsterseniz tek $n$ değerleri için limitin $-1$e, çift $n$ değerleri için limitin $1$e gitiğini göstererek limit yoktur diyebilirsiniz. Bizim için sıfır olmadığını söylemek yeterli olduğundan bu çabaya girmedik.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfır olmadığından, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt[n]n}$$ toplamı ıraksar.
----------------
İlgili limitin bulunması:
Yöntem:
$\infty^0$ belirsizliği var. Fonksiyonun $\ln$ içindeki hali ile ilgilenelim ve $\exp$ fonksiyonunun sürekliliği ile asıl fonksiyonun limitini bulalım.
ln alma:
Fonkisyonun $\ln$ içerisindeki limitine bakarsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty} \ln\left(x^{\frac1{x}}\right)&=\ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac1{x}\cdot \ln x\right) \\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^{-1}}{1}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac1x\\[17pt]&= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
exp alma:
$\exp$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde, özel olarak $0$ noktasında, sürekli olduğundan \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1{x}}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\exp\left[\ln \left(x^{\frac1{x}}\right)\right]\\[17pt] &=\ \exp(0)\\[17pt] &=\ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.