+1 oy
Sonsuz Toplamlar kategorisinde tarafından
$$\sum_{n=1}^\infty \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

1 cevap

0 oy
tarafından

Fikir:
Toplamın terim limiti $1/2$ olduğundan, yani $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda (limiti nasıl bulduğumuzu aşağıda vereceğiz) \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right) \ = \ \dfrac12\end{align*} eşitliği sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)$$ toplamı ıraksar.

----------------

İlgili limitin bulunması:
$\infty-\infty$ belirsizliğini $\infty/\infty$ belirsizliğine çevirebilmek için payı ve paydayı $\sqrt{n^2+n+1}+n$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)\ &= \ \lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)\cdot\frac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\right]\\[21pt] & = \ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n^2+n+1)-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\\[21pt] & = \ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\end{align*}Payı ve paydayı terim terim $n$ ile bölelim ve sonsuzda $n^{-1}$ ve $n^{-2}$ limitlerinin $0$ olduğunu kullanarak limit değerini bulalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{n\to \infty}}\ & =  \ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{1+n^{-1}}{\sqrt{1+n^{-1}+n^{-2}}+1}\\[21pt] & = \  \frac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1}\\[21pt] & = \ \frac12\end{align*}eşitliğini buluruz.

...