Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Tabi bu fikri terim limiti sıfır olanlar için uygulama girişiminde bulunmak daha makul. Bu toplamın terim limitinin $1$ olduğundan sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$ olduğundan ve $(1/2)^x$ fonksiyonu, özel olarak $0$ noktasında, sürekli olduğundan \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac12\right)^{\frac1n} \ = \ \left(\dfrac12\right)^0\ = \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac12\right)^{\frac1n}$$ toplamı ıraksar.
Notlar:
(1) Bu bir geometrik toplam değildir.
(2) Toplam kök testi uygulamaya uygun değildir. Kök testi ile elde edilen limit (benzer şekilde) $1$ gelir ve kök testinde $1$ sonucu bize bir sonuç vermiyor.