$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n(n+2)}}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki kökün içerisinde en güçlü terim olan $n^2$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.

Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında limit karşılaştırma testini uygulayacağız.

Limit karşılaştırma testi:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{n(n+2)}}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n(n+2)}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac2n}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{\sqrt{1+0}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1n$$ toplamı, $p=1 \leq 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.

Answer 2

Bu cevap altında ilk olarak başarısız bir direkt karşılaştırma testi çabasını vereceğiz ve sonrasında bu çabayı uygun bir biçimde değiştirerek başarılı bir direkt karşılaştırma testi uygulayacağız.

Başarısız bir girişim:
$n$ pozitif tam sayıları için $n^2+2n \ge n^2$ eşitsiliği sağlanır ve $$\sqrt{n(n+2)}\ge n \ \ \ \text{ yani } \ \ \  0 \le \frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}\le \frac{1}{n}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Kıyaslamaya çalıştığımız ve terimsel bazda dizimizin terimlerinden büyük olan $\dfrac 1n$ dizisinin toplam dizisi ıraksaktır. Büyük olan ıraksak olduğunda küçük olan için direkt karşılaştırma testi ile bir sonuca varamayız. 

Bu sorunu aşmak pek de zor değil. Bir sabit çarpım ile bu sorunu çözebiliriz.

Başarılı bir girişim:

Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $n^2+2n \le n^2+2n^2 \le 4n^2$ eşitliği sağlanır ve$$\sqrt{n(n+2)} \le 2n \ \ \ \text{ yani } \ \ \   0 \le \frac1{2n} \le \frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1n$ toplamı, $p=1 \leq 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği ıraksaktır. Sıfır olmayan sabit ile çarpım ıraksaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{2n}$$ toplamı da ıraksaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}$$toplamı da ıraksak olur.