Sorunun İndirgenmiş Hali:
$A\subseteq \mathbb R$ olmak üzere $f,F: A \to \mathbb R$ fonksiyonlar ve $a$ bir gerçel sayı olsun. Bir $\delta_1>0$ için $0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $$0 \le f(x) \le F(x)$$ eşitsizliği sağlansın. $F$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti $0$ ise $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$$ eşitliği sağlanır.
İndirgenmiş halinin ispatı:
Bir $\epsilon>0$ alalım.
$F$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limit değeri $0$ olduğundan, limit tanımı gereği, $\epsilon>0$ (seçimi) için öyle $\delta_2>0$ değeri vardır ki $0<|x-a|<\delta_2$ ve $x\in A$ olduğunda $$|F(x)-0|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.
$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$ olarak seçelim. $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|F(x)-0|<\epsilon \;\;\;\text{ ve }\;\;\; 0 \le f(x) \le F(x)$$ eşitsizlikleri sağlanır. Dolayısıyla $0<|x-a|<\delta$ ve $x\in A$ olduğunda $$|f(x)-0|=f(x)\le F(x)=|F(x)-0|<\epsilon$$ eşitsizliği sağlanır.
Bu bilgiyi kullanarak genel halinin ispatı:
$0<|x-a|<\delta_1$ ve $x\in A$ olduğunda $0\le (f-g)(x) \le (h-g)(x)$ eşitsizliği sağlanıyor.
(1) $g$ ve $h$ fonksiyonlarının $a$ noktasındaki limiti $L$ olduğundan, limitin fark özelliği gereği, $$\lim\limits_{x\to a}(h-g)(x)=L-L=0$$ eşitliği sağlanır.
(2) İngirgenmiş haliden gelen sonuç ile $$\lim\limits_{x\to a}(f-g)(x)=0$$ eşitliği sağlanır.
(3) Limitin toplam özelliğinden $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}\left(g+(f-g)\right)(x)=L+0=L$$ eşitliği sağlanır.