0 oy
Orta Öğretim kategorisinde tarafından
$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $$|2-x|<5\ \ \ \text{ ve } \ \ \ |y-3|< 2$$ olduğuna göre $3x-5y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

1 cevap

0 oy
tarafından

Sorulanı anlama ve bir başlanğıç fikri:
Bize $3x-5y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri soruluyor. Bunun için bu ifadenin en küçük üst sınırını bulmamız yeterli olur. Bu üst sınır ile verilen ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulabiliriz. Bu nedenle bu ifadenin (var olmasını beklediğimiz) en küçük üst sınırını bulmaya çalışalım.

Fikir:
$3x-5y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri bulabilmek için ifadeyi $$3\cdot x+5\cdot (-y)$$ olarak düşünelim. Toplama ve pozitif sayılar ile çarpma eşitsizliğin yönünü değiştirmediği için $x$ ile $-y$ için üstten sınırlar bulalım ve bu üst sınırları, sırası ile, $3$ ve $5$ ile çarpıp toplayalım.

Not: $-y$ için üstten sınırlar bulmak ile $y$ için alttan sınır bulmak aynı manaya geldiğinden genel amaç pozitif katsayısı olan için üstten ve negatif katsayısı olan için alttan sınır bulmaktır.

x için üstten bir sınır bulmak:
Elimizde $|2-x|<5$ eşitsizliği var. Bu da bize $$-5 < x-2 <5 \ \ \ \text{ ihtiyacımız olan }\ \ \ x-2<5$$ eşitsizliği verir. Bu eşitsizlik ile $$ x<5+2 \ \ \ \text{ yani }\ \ \ x<7$$ eşitsizliği sağlanır.

-y için üstten bir sınır bulmak:
Elimizde $|y-3|<2$ eşitsizliği var. Bu da bize $$-2 < y-3 <2 \ \ \ \text{ ihtiyacımız olan }\ \ \ -2<y-3$$ eşitsizliği verir. Bu eşitsizlik ile $$ -2+3<y \ \ \ \text{ yani }\ \ \ -y<-1$$ eşitsizliği sağlanır.

3x-5y için üstten bir sınır bulmak:
Elimizde $x<7$ ve $-y<-1$ eşitsizlikleri var. Bu da bize $$3\cdot x+5\cdot (-y)<3\cdot 7+5\cdot(-1)=16$$ eşitsizliğini verir ve $16$ sayısı $3x-5y$ ifadesinin en küçük(!) üstten sınırı olur. Bu ifade $16$ sayısına eşit olmadığından alabileceği en büyük tam sayı değeri $15$ olur.

Eşitliği sağlayan bir örnek:
$x=7-\frac1{6}$ ve $y=1+\frac1{10}$ olarak seçersek $$3x-5y=3\cdot \left(7-\frac1{6}\right)-5\cdot \left(1+\frac1{10}\right)=21-\frac12-5-\frac12=15$$ eşitliği sağlanır.

...