Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $2^n$ ile ilgilenmeliyiz. ($2^n$ limitsel olarak $3$'ten kuvvetlidir. $\lim_{n\to \infty} 3/2^n=0$.) Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında direkt karşılaştırma testini uygulayacağız.
Direkt karşılaştırma testi:
Karşılaştırma için uygun bireşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $2^n+3>2^n>0$ eşitliği sağlanır ve $$0 \leq \frac{1}{2^n+3} \leq \frac{1}{2^n}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac12\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n+3}$$toplamı da yakınsak olur.