Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor. Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $3^n$ ile ilgilenmeliyiz. ($3^n$ limitsel olarak $\sin n$'ten kuvvetlidir. $\lim_{n\to \infty} \sin n/3^n=0$.) Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Direkt karşılaştırma testi:
Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $3^n+\sin n\ge3^n-1>\frac123^n>0$ eşitliği sağlanır ve $$0 \leq \frac{1}{3^n+\sin n} \leq \frac{2}{3^n}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac13\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+\sin n}$$toplamı da yakınsak olur.